excéder et que ce nombre et tous les inférieurs sont également possibles, on aura le nombre de tous les cas possibles relatifs aux nombres impairs en faisant la somme de toutes les valeurs de depuis jusqu’à et il est facile de voir que cette somme est On aura pareillement la somme de tous les cas possibles relatifs aux nombres pairs, en sommant la fonction depuis jusqu’à et l’on trouve cette somme égale à la probabilité d’un nombre pair est donc alors et celle d’un nombre impair est
Supposons maintenant que l’urne renferme le nombre de boules blanches, et le même nombre de boules noires ; on demande la probabilité qu’en tirant un nombre pair quelconque de boules, on amènera autant de boules blanches que de boules noires, tous les nombres pairs pouvant être également amenés.
Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de l’urne peut se combiner avec une boule noire est évidemment Le nombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuvent se combiner avec deux boules noires est et ainsi de suite. Le nombre des cas dans lesquels on amènera autant de boules blanches que de boules noires est donc la somme des carrés des termes du développement du binôme moins l’unité. Pour avoir cette somme, nous observerons qu’elle est égale au terme indépendant de dans le développement de Cette fonction est égale à Le terme indépendant de dans son développement, est ainsi le coefficient du terme moyen du binôme ce coefficient est le nombre des cas dans lesquels on peut tirer de l’urne autant de boules blanches que de boules noires est donc
Le nombre de tous les cas possibles est la somme des termes impairs
