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LIVRE PREMIER.

donc

$y_{s}=\mathrm {A} s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+{\frac {1}{288s^{2}}}+\ldots \right).$

On déterminera la constante arbitraire $\mathrm {A}$ au moyen d’une valeur particulière de $y_{s},$ en supposant, par exemple, que, $s$ étant égal à $\mu ,$ on ait $y_{s}=\mathrm {Y} \,;$ on aura

$\mathrm {Y} =\mathrm {A} \int x^{\mu }dxc^{-x},$

ce qui donne

$\mathrm {A} ={\frac {\mathrm {Y} }{\int x^{\mu }dxc^{-x}}}\,;$

par conséquent,

$(q)\qquad \qquad y_{s}={\frac {\mathrm {Y} s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}}{\int x^{\mu }dxc^{-x}}}\left(1+{\frac {1}{12s}}+{\frac {1}{288s^{2}}}+\ldots \right).$

Voyons maintenant de quelle nature est la fonction $y_{s}.$ Pour cela, il faut intégrer l’équation aux différences finies

$y_{s+1}=(s+1)y_{s}.$

On trouve facilement que son intégrale est

$y_{s}=\mathrm {Y} (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s\,;$

on aura donc, en comparant cette expression à la formule $(q),$

$(q')\quad (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s={\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+{\frac {1}{288s^{2}}}+\ldots \right)}{\int x^{\mu }dxc^{-x}}}.$

Si l’on fait $\mu =0,$ on aura $\int x^{\mu }dxc^{-x}=1\,;$ partant

$1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+{\frac {1}{288s^{2}}}+\ldots \right).$

Si l’on fait $\mu ={\frac {m}{n}},\ m$ étant moindre que $n$, on aura

$s=s'+{\frac {m}{n}},$