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avant celle des noires est donc à la probabilité contraire en raison inverse du nombre des boules blanches à celui des noires.

On arrive à ce dernier résultat, d’une manière extrêmement simple, au moyen des combinaisons ; en effet, la probabilité de la sortie de toutes les boules de l’urne, dans un ordre quelconque, par couleur, sera

${\frac {x(x-1)\ldots 2.1x'(x'-1)\ldots 2.1}{(x+x')(x+x'-1)\ldots 3.2.1}}={\frac {1.2.3\ldots x'}{(x+1)\ldots (x+x')}}.$

Mais, pour que les boules blanches sortent en totalité les premières, il faut nécessairement qu’une boule de la couleur noire sorte la dernière : en combinant $x'-1$ à $x'-1$ les $x+x'-1$ rangs de sortie qui se trouvent avant le dernier, on formera autant de classements différents pour les boules de la couleur noire, et autant d’ordres de sortie par couleur, qui comprendront tous ceux où une boule noire sort en dernier lieu ; or le nombre de ces combinaisons est

${\frac {(x+x'-1)(x+x'-2)\ldots (x+1)}{1.2\ldots (x'-1)}},$

et en le multipliant par la probabilité commune à chaque ordre de sortie par couleur, on aura la probabilité cherchée égale à

${\frac {1.2.3\ldots x'}{(x+1)\ldots (x+x')}}\ {\frac {(x+1)\ldots (x+x'-1)}{1.2.3\ldots (x'-1)}}={\frac {x'}{x+x'}}.$

Remarques sur les fonctions génératrices.

4. Soit $u$ une fonction génératrice à une ou plusieurs variables ; toute équation entre cette fonction et ses variables, linéaire par rapport à $u,$ rationnelle par rapport aux variables, subsistera encore si l’on passe des fonctions génératrices aux coefficients, entre ces mêmes coefficients, et donnera lieu à une équation aux différences partielles ; mais si, dans cette équation aux différences partielles, on repasse des coefficients aux fonctions génératrices, on n’arrivera plus à une équation rigoureusement exacte, à moins qu’on n’y rétablisse en même