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en comptant pour la même les diverses apparitions de celle de 1739, s’élève à cent, dont cinquante-trois sont directes, et quarante-sept sont rétrogrades. La somme des inclinaisons des orbites des premières est de $2657^{\circ }{,}993,$ et celle des inclinaisons des autres orbites est de $2515^{\circ }{,}684\,:$ l’inclinaison moyenne de toutes ces prbites est donc de $51{,}78677\,;$ par conséquent la somme de toutes les inclinaisons est ${\frac {i.\pi }{4}}+i.1^{\circ }{,}73677,\ i$ étant ici égal à $100.$ On voit déjà que l’inclinaison moyenne surpassant le demi-angle droit, les comètes, loin de participer à la tendance des corps du système planétaire, pour se mouvoir dans des plans peu inclinés à l’écliptique, paraissent avoir une tendance contraire. Mais la probabilité de cette tendance est très petite. En effet, si l’on suppose, dans la formule $(o),$

$\varphi ={\frac {i.\pi }{4}},\qquad \varepsilon =i.1^{\circ }{,}73677,$

elle devient

$(p)\ {\frac {1}{1.2.3\ldots i.2^{i}}}\left\{{\begin{aligned}&\left(i+{\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{\pi }}\right)^{i}-i\left(i+{\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{\pi }}-2\right)^{i}\\&+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left(i+{\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{\pi }}-4\right)^{i}-\ldots \\&-\left(i-{\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{\pi }}\right)^{i}+i\left(i-{\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{\pi }}-2\right)^{i}\\&-{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left(i-{\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{\pi }}-4\right)^{i}+\ldots \end{aligned}}\right\},$

$\pi$ étant $200^{\circ }.$ C’est l’expression de la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites des $i$ comètes doit être comprise dans les limites $\pm i.1^{\circ }{,}73677.$ Le nombre des termes de cette formule et la précision avec laquelle il faudrait avoir chacun d’eux en rendent le calcul impraticable ; il faut donc recourir aux méthodes d’approximation développées dans la seconde Partie du Livre I^er. On a, par le n^o 42 du même Livre,

${\frac {\left(i+r{\sqrt {i}}\right)^{i}-i\left(i+r{\sqrt {i}}-2\right)^{i}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left(i+r{\sqrt {i}}-4\right)^{i}-\ldots }{1.2.3\ldots i.2^{i}}}$

$={\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}-{\frac {3}{20i}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}r\left(1-r^{2}\right)c^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$