On peut parvenir au même résultat de cette manière. Reprenons l’expression de la probabilité que sera compris dans les limites zéro et Le coefficient de dans la différentielle de cette expression est l’ordonnée de la courbe des probabilités des erreurs de l’élément, erreurs représentées par l’abscisse de cette courbe, que l’on peut étendre à l’infini de chaque côté de l’ordonnée qui répond à nul. Cela posé, toute erreur, soit positive, soit négative, doit être considérée comme un désavantage ou une perte réelle, à un jeu quelconque ; or, par les principes de la théorie des probabilités, exposés au commencement de ce Livre, on évalue ce désavantage en prenant la somme de tous les produits de chaque désavantage par sa probabilité ; la valeur moyenne de l’erreur à craindre en plus est donc la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité ; elle est par conséquent égale à l’intégrale
prise depuis nul jusqu’à infini ; ainsi cette erreur est
Cette quantité, prise avec le signe donne l’erreur moyenne à craindre en moins. Il est visible que le système des facteurs qu’il faut choisir doit être tel que ces erreurs soient des minima et par conséquent tel que soit un minimum.
Si l’on différentier cette fonction par rapport à on aura, en égalant sa différentielle à zéro, par la condition du minimum,
Cette équation a lieu, quel que soit et, comme la variation de ne fait point changer la fraction en nommant cette fraction, on
