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Reprenons actuellement la fonction génératrice $(c)\,;$ on peut toujours la ramener à cette forme

${\frac {\mathrm {A} _{1}t+\mathrm {B} _{1}t^{2}t'+\mathrm {A} '_{1}+\mathrm {B} '_{1}tt'}{1-mt-m_{1}t^{2}-m't'-m'_{1}t'^{2}-ntt'-n_{1}t^{2}t'-n'tt'^{2}-n'_{1}t^{2}t'^{2}}},$

$\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {B} _{1}$ étant les fonctions arbitraires de $t,\ \mathrm {A} '_{1}$ et $\mathrm {B} '_{1}$ les fonctions arbitraires de $t'\,;$ lesquelles on détermine aisément, en égalant d’abord le coefficient de $t^{0}$ dans le développement de cette fonction à la fonction génératrice de $z_{0,x'}$ ou zéro, ensuite celui de $t'^{0}$ à la fonction génératrice de $z_{x,0}$ ou ${\frac {t}{1-t}},$ puis celui de $t$ à la fonction génératrice de $z_{1,x'},$ et enfin celui de $t'$ à la fonction génératrice de $z_{x,1},$ ce qui donnera successivement

$\mathrm {A} '_{1}=0,\quad \mathrm {A} _{1}={\frac {1-mt-m_{1}t^{2}}{1-t}},\quad \mathrm {B} '_{1}=m'_{1},\quad \mathrm {B} _{1}={\frac {m'_{1}+n'+n'_{1}t}{1-t}},$

et, par conséquent, pour la fonction génératrice de $z_{x,x'},$

$(d)\ {\frac {\left(1-mt-m_{1}t^{2}\right)t+m'_{1}tt'+n't^{2}t'+n'_{1}t^{3}t'}{(1-t)\left(1-mt-m_{1}t^{2}-m't'-m'_{1}t'^{2}-ntt'-n_{1}t^{2}t'-n'tt'^{2}-n'_{1}t^{2}t'^{2}\right)}}.$

Si l’on suppose $p$ et $p'$ nuls, alors on a

$m=0,\quad m'=0,\quad n=0,\quad n_{1}=0\quad$et$\quad n'=0,$

et la fonction $(d)$ prend cette forme

${\frac {tt'\left(m'_{1}+n'_{1}t^{2}\right)}{(1-t)\left(1-m_{1}t^{2}\right)\left[1-\left({\frac {m'_{1}+n'_{1}t^{2}}{1-m_{1}t^{2}}}\right)t'^{2}\right]}}+{\frac {t}{(1-t)\left[1-\left({\frac {m'_{1}+n'_{1}t^{2}}{1-m_{1}t^{2}}}\right)t'^{2}\right]}},$

sous laquelle elle est susceptible des mêmes développements que la fonction $(a).$ Il est à remarquer que l’on retrouvera le même coefficient pour

$t^{2r}t'^{2r'},\qquad t^{2r-1}t'^{2r'},\qquad t^{2r}t'^{2r'-1},\qquad t^{2r-1}t'^{2r'-1}\,;$

ce qui se voit a priori, en faisant attention que les joueurs comptent toujours deux points à chaque boule blanche qu’ils font sortir.

Supposons que le joueur $\mathrm {A}$ ait seul des boules numérotées $1$ et $2,$ et