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on aura donc, par le retour des suites,

$\theta ={\frac {t}{\sqrt {h}}}\left(1-{\frac {h't}{2h{\sqrt {h}}}}+{\frac {5h'^{2}-4hh''}{8h^{3}}}t^{2}+\ldots \right),$

et cette suite sera d’autant plus convergente que le nombre $n$ sera plus considérable. En substituant cette valeur de $\theta$ dans la fonction $\int d\theta c^{-t^{2}},$ et prenant l’intégrale dans les limites $t=-\infty$ et $t=\infty ,$ limites qui correspondent aux limites $x=0$ et $x=\infty ,$ on aura

$\int x^{i-1}dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}$

$=a^{i-1}c^{-sa}\left(c^{-a}-1\right)^{n}{\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {h}}}\left(1+{\frac {15h'^{2}-12hh''}{16h^{3}}}+\ldots \right).$

On a d’ailleurs

$\int x^{i-1}dxc^{-x}={\frac {1}{i}}\int x^{i}dxc^{-x},$

et lorsque $i$ est très grand, on a, par le n^o 32,

$\int x^{i}dxc^{-x}=i^{i+{\frac {1}{2}}}c^{-i}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12i}}+\ldots \right)\,;$

en divisant donc l’une par l’autre les deux valeurs de

$\int x^{i-1}dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}\quad$et$\quad \int x^{i-1}dxc^{-x},$

on aura

$\Delta ^{n}{\frac {1}{^{i}}}={\frac {\left({\cfrac {a}{i}}\right)^{i-1}c^{i-sa}\left(c^{-a}-1\right)^{n}}{\sqrt {2hi}}}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {15h'^{2}-12hh''}{16h^{3}}}\\&-{\frac {1}{12i}}-\ldots \end{aligned}}\right\}.$

Pour avoir la différence $n$^ième de la puissance positive $s^{i},$ il suffit, par le n^o 30, de changer dans cette équation $i$ dans $-i,$ et l’on aura

$(\mu ')\left\{{\begin{aligned}\Delta ^{n}s^{i}&=(s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+n-2)^{i}-\ldots \\=&{\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}c^{sa-i}\left(c^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-ni{\cfrac {c^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}}}}}\left(1+{\frac {15l'^{2}-12ll''}{16l^{3}}}+{\frac {1}{12i}}+\ldots \right).\end{aligned}}\right\}$