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Si l’on fait

$\mu ={\frac {ak'}{k}}={\frac {a^{2}k'}{ak}}=a^{2}k',$

la première puissance de $\varpi ,$ disparaît, et de plus, $n$ étant supposé un très grand nombre, on peut s’arrêter à la seconde puissance de $\varpi \,;$ la fonction (1) devient ainsi, en repassant des logarithmes aux nombres,

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{l\varpi {\sqrt {-1}}-n{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}a^{2}\varpi ^{2}}.$

Si l’on fait

${\text{ϐ}}^{2}={\frac {k^{2}}{2\left(kk''-k'^{2}\right)}},\qquad t={\frac {a\varpi {\sqrt {n}}}{2{\text{ϐ}}}}-{\frac {{\text{ϐ}}l{\sqrt {-1}}}{a{\sqrt {n}}}},$

cette intégrale devient, en la prenant depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$

${\frac {\text{ϐ}}{a{\sqrt {n\pi }}}}c^{-{\frac {{\text{ϐ}}^{2}l^{2}}{a^{2}n}}}$

En la multipliant par $dl,$ et faisant $l=ar{\sqrt {n}},$ on aura

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int {\text{ϐ}}drc^{-{\text{ϐ}}^{2}r^{2}}$

pour la probabilité que la somme des âges auxquels les $n$ enfants parviendront sera comprise dans les limites $na^{2}k'\pm ar{\sqrt {n}}.$

La quantité $a^{2}k'$ ou $\int x\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)$ est la somme des produits de chaque âge par la probabilité d’y parvenir ; elle est donc la vraie durée de la vie moyenne ; ainsi la probabilité que la somme des âges auxquels les $n$ enfants cesseront de vivre, divisée par leur nombre, est comprise dans ces limites

Vraie durée de la vie moyenne, plus ou moins ${\frac {ar}{\sqrt {n}}},$

a pour expression

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int {\text{ϐ}}drc^{-{\text{ϐ}}^{2}r^{2}}.$