pourvu que, dans le développement de ce polynôme, on applique à la caractéristique les exposants des puissances de et qu’ainsi l’on écrive au lieu de en ayant soin de changer en Ce grand géomètre observa de plus que ce théorème subsiste en y supposant négatif, pourvu que l’on change les différentielles négatives en intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière des puissances et des différences dans tous ses développements, et, par une suite d’inductions très finjes et très heureuses, il en a déduit des formules générales aussi curieuses qu’utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finis divers, et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Son Mémoire sur cet objet, inséré dans le Recueil de l’Académie de Berlin pour l’année 1772, peut être regardé comme une des plus belles applications que l’on ait faites de la méthode des inductions. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques la notation cartésienne ; elle montre en même temps avec évidence l’analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques, et nous allons voir tout ce qui concerne les séries et l’intégration des équations linéaires aux différences en découler avec une extrême facilité.
