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En la développant par rapport aux puissances de $t',$ nous nommerons $y_{x,x'}$ le coefficient de $t^{'x'}$ dans ce développement. Cela posé, si l’on suppose

${\begin{aligned}a=&a't^{'n}\ +b't^{'n-1}+c't^{'n-2}+\ldots ,\\b=&a''t^{'n}\,+b''t^{'n-1}+c''t^{'n-2}+\ldots ,\\c=&a'''t^{'n}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

l’équation différentielle précédente en $y_{x}$ donnera, en comparant les coefficients de la puissance $t^{'x'+n},$ l’équation suivante aux différences partielles en $y_{x,x'},$

${\begin{aligned}0=a'y_{x,x'}+b'y_{x,x'+1}\ +c'y_{x,x'+2}\quad &+\ldots \\+a''y_{x+1,x'}+b''y_{x+2,x'+1}&+\ldots \\+a'''y_{x+2,x'}\ \ \ &+\ldots \\&+\ldots \,;\end{aligned}}$

la fonction génératrice de la variable $y_{x,x'}$ de cette équation sera donc

${\frac {\mathrm {A} +\mathrm {B} t+\mathrm {C} t^{2}+\ldots +\mathrm {H} t^{n-1}}{\begin{aligned}a't^{n}t^{'n}+b't^{n}t^{'n-1}+c't^{n}t^{'n-2}&+\ldots \\+a''t^{n-1}t^{'n}+b''t^{n-1}t^{'n-1}&+\ldots \\+a'''t^{n-2}t^{'n}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}}$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ tant des fonctions arbitraires de $t',$ elles donneront, par leur développement, les fonctions arbitraires qui doivent entrer dans l’expression de $y_{x,x'}.$

On peut encore déterminer les fonctions génératrices des équations aux différences finies, dans lesquelles les coefficients sont variables. Considérons pour cela l’équation aux différences

${\begin{aligned}0&=\quad \ \ ay_{x}\ \ +by_{x+1}\ \ +cy_{x+2}\ \ +\ldots +qy_{x+n}\\&+x\,\ \left(a'y_{x}\ +b'y_{x+1}\ +c'y_{x+2}\ +\ldots +q'y_{x+n}\right)\\&+x^{2}\left(a''y_{x}+b''y_{x+1}+c''y_{x+2}+\ldots +q''y_{x+n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$