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LIVRE PREMIER.

$\alpha$ étant égal à $t^{r}\left({\frac {1}{t}}-1\right),$ le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de $u\alpha$ est, par le n^o 2, $\Delta y_{x-r}\,;$ ce même coefficient dans $u\alpha ^{2}$ est $\Delta ^{2}y_{x-2r}$ et ainsi de suite. L’équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

${\begin{aligned}y_{x+i}=y_{x}&+i\Delta y_{x-r}+{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x-2r}\\&+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x-3r}+\ldots \end{aligned}}$

4. Voici maintenant une méthode générale d’interpolation, qui a l’avantage de s’appliquer, non seulement aux séries dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux séries dont la dernière raison des termes est celle d’une suite quelconque récurrente.

Supposons d’abord que l’on ait

(1)

$t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}=z,$

et cherchons la valeur de ${\frac {1}{t^{i}}}$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $z.$ Il est clair que ${\frac {1}{t^{i}}}$ est égal au coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{1-{\cfrac {\theta }{t}}}}.$ Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par $1-\theta t,$ on aura celle-ci

${\frac {1-\theta t}{1-\theta \left({\cfrac {1}{t}}+t\right)+\theta ^{2}}}.$

L’équation (1) donne

${\frac {1}{t}}+t=2+z,$

ce qui change la fraction précédente dans celle-ci,

${\frac {1-\theta t}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}\,;$