la partie par le joueur jusqu’à celle où il ne gagnerait qu’au ième coup, événement dont la probabilité serait
et effectivement, dans ce cas, il ne peut y avoir de coups où les joueurs amènent en même temps une boule blanche.
La somme de toutes ces probabilités donnera évidemment celle du joueur pour gagner la partie.
Si l’on fait attention que
on retrouve l’expression de
Concevons présentement qu’il y ait dans les urnes des boules blanches portant le no 1, et d’autres boules, de la même couleur, qui portent le no 2 ; chaque boule diminuant de son numéro, par sa sortie, le nombre de points qui manquent encore au joueur auquel elle est favorable. Le problème n’est plus susceptible d’être résolu généralement au moyen des combinaisons, au lieu que le calcul des fonctions génératrices continuera à fournir une expression générale dont le développement contiendra la solution complète de la question et pourra, dans certains cas, s’effectuer par des lois faciles à saisir, comme nous aurons occasion de le voir.
Soient la probabilité du joueur d’extraire une boule numérotée 1, celle d’extraire une boule numérotée 2, et celle d’amener une boule noire ; et les probabilités correspondantes pour le joueur et soit toujours la probabilité de ce dernier joueur pour gagner la partie. En suivant la même marche que plus haut, on sera conduit à l’équation aux différences partielles
