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or on a

${\begin{aligned}\left(1+{\frac {2c^{-a}}{n-2}}\right)^{5i}=&c^{\frac {10ic-a}{n-2}},\\\left(1-c^{-a}\right)^{-5i}=&c^{5ic^{-a}}(1+{\frac {5i}{2}}c^{-2a},\\\left({\frac {5i}{5i+1}}\right)^{5i}=&c^{-1}\left(1+{\frac {1}{10i}}\right)\,;\end{aligned}}$

on aura donc, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},$

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{(n-2)^{5i}}}=\left(1-c^{-a}\right)^{n}\left(1-c^{-a}+{\frac {5i}{2}}c^{-2a}+{\frac {na^{2}c^{-a}}{10i}}\right).$

En substituant pour $a$ sa valeur et observant que $i$ est fort peu différent de $n-2$ dans le cas présent, comme on le verra ci-après, on a, à très peu près.

${\frac {na^{2}c^{-a}}{10i}}={\frac {5i+12}{2(n-2)}}c^{-a}.$

Je conserve, pour plus d’exactitude, le terme ${\frac {12c^{-a}}{2(n-2)}},$ quoique de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},$ à cause de la grandeur de son facteur $12\,;$ on aura donc

${\frac {\Delta ^{n}s^{5i}}{(n-2)^{5i}}}=\left(1-c^{-a}\right)^{n}\left[1+{\frac {5i-2n+16}{2(n-2)}}c^{-a}+{\frac {5i}{2}}c^{-2a}\right].$

Si l’on change dans cette expression $5i$ dans $5i-2,$ on aura celle de ${\frac {\Delta ^{n}s^{5i-2}}{(n-2)^{5i-2}}}\,;$ mais la valeur de $a$ ne sera plus la même. Soit $a'$ cette nouvelle valeur, on aura

$a'={\frac {(5i-1)\left(1-c^{-a'}\right)}{(n-2)\left(1+{\frac {2c^{-a'}}{n-2}}\right)}},$

ce qui donne, à très peu près.

$a'=a-{\frac {2}{n-2}}.$

Alors on a

$1-c^{-a'}=1-c^{-a}-{\frac {2c^{-a}}{n-2}},$