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cette erreur soit un minimum. En faisant varier $m^{(i)}$ seul, on a

${\begin{aligned}d\log \mathrm {\frac {\sqrt {H}}{I}} =&dm^{(i)}{\frac {-p^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}+q^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}}{\mathrm {I} }}\\+&dm^{(i)}{\frac {\left\{{\begin{aligned}&q^{(i)}\mathrm {S} n^{(i)2}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}-n^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\\&-q^{(i)}\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}+m^{(i)}\left(\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}\end{aligned}}\right\}}{\mathrm {H} }}.\end{aligned}}$

Il est facile de voir que cette différentielle disparaît, si l’on suppose, dans les coefficients de $dm^{(i)},$

$dm^{(i)}=\mu p^{(i)},\qquad n^{(i)}=\mu q^{(i)},$

$\mu$ étant un coefficient arbitraire indépendant de $i,$ et au moyen duquel on peut rendre $m^{(i)}$ et $n^{(i)}$ des nombres entiers ; la supposition précédente rend donc nulle la différentielle de $\mathrm {\frac {\sqrt {H}}{I}} ,$ prise par rapport à $m^{(i)}.$ On verra de la même manière que cette supposition rend nulle la différentielle de la même quantité, prise par rapport à $n^{(i)}.$ Ainsi cette supposition rend un minimum l’erreur moyenne à craindre sur la correction du premier élément ; et l’on verra de la même manière qu’elle rend encore un minimum l’erreur moyenne à craindre sur la correction du second élément, erreur que l’on obtient en changeant dans l’expression de la précédente $\mathrm {H}$ en $\mathrm {F} .$ Dans cette supposition, les corrections des deux éléments sont

${\begin{aligned}z=&{\frac {\mathrm {S} q^{(i)2}.\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}-\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}.\mathrm {S} q^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}},\\z'=&{\frac {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)}\alpha ^{(i)}-\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}.\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Il est facile de voir que ces corrections sont celles que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, ou du minimum de la fonction

$\mathrm {S} \left(p^{(i)}z+q^{(i)}z'-\alpha ^{(i)}\right)^{2}\,;$

d’où il suit que cette méthode a généralement lieu, quel que soit le nombre des éléments à déterminer ; car il est visible que l’analyse précédente peut s’étendre à un nombre quelconque d’éléments.