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LIVRE PREMIER.

on aura donc, par le n^o 26, en faisant $z=r{\sqrt {n}}$

$(q)\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\int dx'\cos zx'\left({\cfrac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}}{\pi }}\\&={\sqrt {\frac {3}{2n\pi }}}c^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\left[1-{\frac {3}{20n}}(1-6r^{2}+3r^{4}+\ldots \right]\\\\&={\frac {\begin{aligned}&\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-1}\\+&{\cfrac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-1}-\ldots \end{aligned}}{1.2.3\ldots (n-1)2^{n}}},\end{aligned}}\right.$

la série de ce dernier membre devant être arrêtée aux puissances des quantités négatives.

En différenciant cette équation par rapport à $r,$ on aura, avec la condition de l’exclusion des puissances des quantités négatives,

${\frac {n}{1.2.3\ldots (n-2)2^{n}}}[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-2}$

$-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-2}+{\cfrac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n-2}-\ldots$

$=-3r{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}c^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\left[1-{\frac {3}{20n}}\left(5-10r^{2}+3r^{4}\right)+\ldots \right].$

En continuant de différentier ainsi, on aura les valeurs des différences inférieures, pourvu cependant que le nombre de ces différentiations soit fort petit relativement au nombre $n.$ On peut observer que ces équations subsistent, en y faisant $r$ négatif ; car $\cos zx'$ ou $\cos x'r{\sqrt {r}}$ est le même dans les deux cas de $r$ positif et de $r$ négatif.

On peut, en intégrant successivement l’équation $(q),$ obtenir des théorèmes analogues sur les différences finies des puissances supérieures à $n,$ en excluant toujours les puissances des quantités négatives. Ainsi on a, par une première intégration,

${\begin{aligned}&{\frac {\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}+{\cfrac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n}-\ldots }{1.2.3\ldots n.2^{n}}}\\&={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\left[1-{\frac {3}{20n}}\left(1-6r^{2}+3r^{4}\right)+\ldots \right]\\&=\mathrm {C} +{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\left[\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}-{\frac {3}{20n}}r\left(1-r^{2}\right)c^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+\ldots \right].\end{aligned}}$