l’intégrale de l’équation que l’on obtient en égalant à zéro la troisième différence de la fonction. Cette intégrale renferme, comme constantes arbitraires, la fonction de l’indice et ses différences première et seconde, relatives au cas de n nul.
Concevons maintenant que A soit une fonction de deux variables t et t’, développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de puissances de ces variables ; le coefficient du produit de deux puissances quelconques sera une fonction des indices de ces puissances, dont A sera la fonction génératrice.
Multiplions A par une fonction B des deux variables t et t développée par rapport aux puissances et aux produits de ces variables, telle, par exemple, que la première variable, plus la seconde, moins deux ; le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coefficient du produit de deux puissances quelconques n et n’ des mêmes variables sera égal à ce même coefficient dans A, en y diminuant d’une unité l’indice n de la première variable, plus à ce même coefficient dans lequel on diminue d’une unité l’indice n’ de la seconde variable, moins le double de ce coefficient. On pourra exprimer ce nouveau coefficient par une caractéristique δ placée devant le coefficient de A. On verra, comme ci-dessus, que le coefficient correspondant dans le produit de A par une puissance quelconque de B sera exprimé par cette caractéristique toujours placée devant le coefficient de A, et à laquelle on donne pour exposant celui de la puissance de B. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d’une seule variable.
On pourra développer d’une manière semblable une fonction quelconque de deux indices augmentés respectivement des indéterminées n et n’, dans une série ordonnée par rapport aux puissances d’une caractéristique : montrons-le par un exemple. Pour cela, conservons à B la valeur que nous venons de lui supposer. Dans ce cas, la première variable sera identiquement égale au trinôme deux moins la seconde variable plus B ; la première variable, élevée à la puissance n prise en moins, sera donc égale à ce trinôme élevé à la même puissance. Mul-
