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La probabilité que, sur $p'$ individus de l’âge $\mathrm {A} ,\ {\frac {qp'}{p}}+z$ vivront à l’âge $\mathrm {A} +a,$ est, par ce qui précède.

${\sqrt {\frac {p^{3}}{2qp'(p-q)(p+p')\pi }}}c^{-{\frac {p^{2}z^{2}}{2qp'(p-q)(p+p')}}}.$

On aura la probabilité que, sur ${\frac {qp'}{p}}+z$ individus de l’âge $\mathrm {A} +a,\ \left({\frac {qp'}{p}}+z\right){\frac {r}{q}}+u$ vivront à l’âge $\mathrm {A} +a+a',$ en changeant dans la fonction précédente $p'$ dans ${\frac {qp'}{p}}+z,\ p$ en $q,\ q$ en $r$ et $z$ en $u\,;$ ce qui donne, en négligeant $z$ par rapport à ${\frac {qp'}{p}},$

${\sqrt {\frac {qp^{2}}{2rp'(q-r)(p+p')\pi }}}c^{-{\frac {qp^{2}u^{2}}{2rp'(p-r)(p+p')}}}.$

Le produit de ces deux probabilités est la probabilité de l’existence simultanée de $z$ et de $u.$ Or on a

$\left({\frac {qp'}{p}}+z\right){\frac {r}{q}}+u={\frac {rp'}{p}}+z',$

ce qui donne

$u=z'-{\frac {rz}{q}}\,;$

en faisant donc

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}^{2}=&{\frac {p^{3}}{2qp'(p-q)(p+p')}},\\{\text{ϐ}}'^{2}=&{\frac {qp^{2}}{2rp'(q-r)(p+p')}},\end{aligned}}$

la probabilité $\mathrm {P}$ de l’existence simultanée des valeurs de $z$ et de $z'$ sera

$\mathrm {P} =\int {\frac {{\text{ϐ}}dz}{\sqrt {\pi }}}{\frac {dz'}{\sqrt {\pi }}}c^{-{\text{ϐ}}^{2}z^{2}-{\text{ϐ}}'^{2}\left(z'-{\frac {rz}{q}}\right)^{2}}.$