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probabilité de cette extraction est ${\frac {n}{n+1}}\,;$ en multipliant donc ${\frac {1}{2}}$ par ${\frac {n}{n+1}},$ et le produit par la probabilité $(1-q)q'$ que le second témoin dit la vérité, tandis que le premier ne la dit pas, on aura

${\frac {(1-q)q'n}{2(n+1)}},$

pour la probabilité relative à la troisième hypothèse.

Enfin, dans la quatrième hypothèse, une boule noire a d’abord été extraite de l’urne $\mathrm {B} ,$ et la probabilité de cette extraction est ${\frac {1}{2}}.$ Ensuite cette boule noire, niise dans l’urne $\mathrm {A} ,$ en a été extraite au second tirage, et la probabilité de cette extraction est ${\frac {1}{n+1}}\,;$ en multipliant donc le produit de ces deux probabilités par la probabilité $(1-q)(1-q')$ qu’aucun des témoins ne dit la vérité, on aura

${\frac {(1-q)(1-q')}{2(n+1)}}$

pour la probabilité relative à la quatrième hypothèse.

Maintenant la probabilité du fait qui résulte de l’ensemble des deux témoignages, savoir, qu’une boule blanche extraite au premier tirage a reparu au second tirage, est visiblement égale à la probabilité relative à la première hypothèse divisée par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses ; cette probabilité est donc

${\frac {qq'}{qq'+(1-q)(1-q')+\left[q(1-q')+q'(1-q)\right]n}}.$

Le phénomène de la réapparition d’une boule blanche au second tirage devient d’autant plus extraordinaire que le nombre $n$ des boules de chaque urne est plus considérable, et alors la probabilité précédente devient très petite. On voit donc que la probabilité du fait résultant de l’ensemble des témoignages est extrêmement affaiblie, lorsqu’il est extraordinaire.