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LIVRE PREMIER.

on a d’ailleurs

$\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}=c^{dx\log \left(1+\Delta y_{x}\right)}=1+dx\log \left(1+\Delta y_{x}\right)\,;$

les équations (1) et (2) deviendront ainsi

(5)

${\frac {d^{n}y_{x}}{dx^{n}}}=\left[\log \left(1+\Delta y_{x}\right)\right]^{n},$

(6)

$\int ^{n}y_{x}dx^{n}={\frac {1}{\left[\log \left(1+\Delta y_{x}\right)\right]^{n}}}.$

On peut observer ici une ana\logie \singulière entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales. L’équation

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad '\Delta y_{x}=c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}-1$

est la traduction du théorème connu de Taylor, lorsque, dans le développement de son second membre suivant les puissances de ${\frac {dy_{x}}{dx}},$ on applique à la caractéristique $d$ les exposants de ces puissances. En élevant les deux membres de cette équation à la puissance $n,$ et appliquant aux caractéristiques $'\Delta$ et $d$ les exposants des puissances de $'\Delta y_{x}$ et de $dy_{x},$ on aura l’équation (3), d’où résulte l’équation (4) en changeant les différences négatives en intégrales.

L’équation précédente donne

$c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}=1+'\Delta y_{x}.$

En prenant les \logarithmes de chaque membre, on aura

$(r)\qquad \qquad \qquad \qquad \alpha {\frac {dy_{x}}{dx}}=\log \left(1+'\Delta y_{x}\right).$

Supposant ensuite $\alpha =1,$ ce qui change $'\Delta y_{x}$ dans $\Delta y_{x}$ et élevant les deux membres de cette équation à la puissance $n,$ on aura l’équation (5), pourvu que l’on applique les exposants des puissances aux caractéristiques. On aura l’équation (6) en faisant $n$ négatif et changeant les puissances négatives en intégrales.