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LIVRE PREMIER.
on a d’ailleurs
![{\displaystyle \left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}=c^{dx\log \left(1+\Delta y_{x}\right)}=1+dx\log \left(1+\Delta y_{x}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4c3a83ed6984ffb8d9b921206655e904ca5826)
les équations (1) et (2) deviendront ainsi
(5)
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(6)
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On peut observer ici une ana\logie \singulière entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales. L’équation
![{\displaystyle (o)\qquad \qquad \qquad \qquad '\Delta y_{x}=c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e23d78ae44df4d3a2e3e322ab4e2fe950a059b9)
est la traduction du théorème connu de Taylor, lorsque, dans le développement de son second membre suivant les puissances de
on applique à la caractéristique
les exposants de ces puissances. En élevant les deux membres de cette équation à la puissance
et appliquant aux caractéristiques
et
les exposants des puissances de
et de
on aura l’équation (3), d’où résulte l’équation (4) en changeant les différences négatives en intégrales.
L’équation précédente donne
![{\displaystyle c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}=1+'\Delta y_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb704d533e77a467fb5759c589245371278285a)
En prenant les \logarithmes de chaque membre, on aura
![{\displaystyle (r)\qquad \qquad \qquad \qquad \alpha {\frac {dy_{x}}{dx}}=\log \left(1+'\Delta y_{x}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935eb749cea8138432efdf8dc1128404d7cadfa0)
Supposant ensuite
ce qui change
dans
et élevant les deux membres de cette équation à la puissance
on aura l’équation (5), pourvu que l’on applique les exposants des puissances aux caractéristiques. On aura l’équation (6) en faisant
négatif et changeant les puissances négatives en intégrales.