Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/223

35

LIVRE PREMIER.

Supposons que l’on ait l’équation différentielle

$0=\nabla ^{s}\varphi (\varpi +x')-\mathrm {V} _{x'},$

$\mathrm {V} _{x'}$ étant une fonction donnée de $x'\,;$ il faut, par le n^o 6, ajouter à l’expression précédente de $\varphi (\varpi +x')$ le terme $\int \mathrm {V} _{r}\mathrm {X} _{x'-r}^{(s-1)}dr,\ \mathrm {X} _{x'}^{(s-1)}$ étant la même fonction de $x'$ que $\mathrm {X} ^{(s-1)}.$ L’intégrale relative à $r$ doit être prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=x'.$ Cette intégrale définie peut, par le numéro cité, être transformée en intégrales indéfinies relatives à $x'$.

De la transformation des suites.

9. La théorie des fonctions génératrices peut servir encore à transformer les suites en d’autres qui suivent une loi donnée. Considérons la suite infinie

(V)

$y_{0}+y_{1}\alpha +y_{2}\alpha ^{2}+\ldots +y_{x}\alpha ^{x}+\ldots ,$

et nommons, comme ci-dessus, $u$ la somme de la série infinie

$y_{0}+y_{1}\alpha t+y_{2}\alpha ^{2}t^{2}+\ldots +y_{x}\alpha ^{x}t^{x}+\ldots ,$

le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fraction ${\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}$ sera égal à la somme de la suite proposée (V), prise depuis le terme $y_{x}\alpha ^{x}$ inclusivement jusqu’à l’infini. Soit généralement $z$ une fonction quelconque de ${\frac {1}{t}},$ et nommons $\Pi y_{x}\alpha ^{x}$ le coefficient de $t^{x}$ dans $uz.$ Les coefficients de $t^{x}$ dans $uz^{2},uz^{3},\ldots$ seront $\Pi ^{2}y_{x}\alpha ^{x},\Pi ^{3}y_{x}\alpha ^{x},\ldots .$ Cela posé, on multipliera le numérateur et le dénominateur de la fraction ${\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}$ par $k-z,$ et l’on prendra pour $k$ ce que devient $z$ lorsqu’on y fait $t$ égal à l’unité ; $k-z$ sera divisible alors par $1-{\frac {1}{t}}.$ Soit

$h+{\frac {h^{(1)}}{t}}+{\frac {h^{(2)}}{t^{2}}}+{\frac {h^{(3)}}{t^{3}}}+\ldots$