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séquent elle n’est qu’une intégrale particulière de l’équation différentielle proposée en $y_{s},$ si cette équation est d’un ordre supérieur à l’unité. Pour avoir dans ce cas l’intégrale complète, il faudra chercher dans l’équation $0=d(\mathrm {N} \varphi \delta y)$ autant de valeurs différentes de $x$ qu’il y a d’unités dans cet ordre. Soient $a,a',a'',\ldots$ ces valeurs ; on changera successivement, dans l’expression précédente de $y_{s},\ a$ en $a',a'',\ldots ,$ et $\mathrm {H}$ en $\mathrm {H',H''} ,\ldots \,;$ on aura autant de valeurs particulières qui renfermeront chacune une arbitraire, et dont la somme sera l’expression complète de $y_{s}.$

Quand les coefficients de la proposée en $y_{s}$ renferment des puissances de $s$ supérieures à l’unité, on peut quelquefois décomposer cette équation en plusieurs autres qui ne renferment que cette première puissance. Si l’on a, par exemple, l’équation

$y_{s+1}=\mathrm {M} y_{s},$

$\mathrm {M}$ étant une fonction rationnelle et entière de $s,$ on mettra cette fonction sous la forme

${\frac {q(s+b)(s+b')(s+b'')\ldots }{(s+f)(s+f')(s+f'')\ldots }}\,;$

on fera ensuite

${\begin{alignedat}{2}z_{s+1}=&q(s+b)z_{s},&\qquad z'_{s+1}=&(s+b')z'_{s},\qquad \ldots ,\\t_{s+1}=&(s+f)t_{s},&t'_{s+1}=&(s+f')t'_{s},\qquad \ldots .\end{alignedat}}$

Il est facile, par ce qui précède, de déterminer $z_{s},t_{s},\ldots$ en intégrales définies, et de réduire ces intégrales en séries convergentes, lorsque $s$ est un grand nombre. On aura ensuite

$y_{s}={\frac {z_{s}z'_{s}\ldots }{t_{s}t'_{s}\ldots }}.$

Dans plusieurs cas où l’équation différentielle en $\varphi ,$ étant d’un ordre supérieur au premier, ne peut être intégrée rigoureusement, on peut déterminer $\varphi$ par une approximation très convergente ; en substituant ensuite cette valeur de $\varphi$ dans l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,$ on peut obtenir d’une manière fort approchée la valeur de cette intégrale.