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rences ordinaires ou partielles : ordinaires, lorsqu’il n’y a qu’une variable ; partielles, lorsqu’il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs, dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire joue avec le troisième, et, s’il le gagne, la partie est finie. S’il est vaincu, le vainqueur joue avec l’autre, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie. On demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d’abord la probabilité qu’elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup $n-1$ et le gagner, ainsi que le coup suivant. Mais si, au lieu de gagner le coup $n-1,$ il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l’autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu’un des joueurs entrera au jeu au coup $n-1$ et le gagnera est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup ; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant pour que la partie se termine au coup Ji, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu’un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n ; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu’on y diminue n de l’unité. Cette égalité forme une de ces équations que l’on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement, à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu’au second coup, et pour cela il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire gagne au second coup le troisième joueur ; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc ${\frac {1}{2}}$. De là, en vertu de l’équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont ${\frac {1}{4}}$ pour le troisième coup, ${\frac {1}{8}}$ pour le quatrième, …, et généralement ${\frac {1}{2}}$ élevé à la puissance $n-1$ pour le n^ème coup. La somme de toutes ces puissances de ${\frac {1}{2}}$ est l’unité moins la dernière de ces puis-