la fonction
devient
![{\displaystyle \iint {\frac {k}{4k''\pi }}\mathrm {\frac {I}{\sqrt {E}}} {\frac {dudu'}{a^{2}}}c^{-{\frac {k\left(\mathrm {F} u^{2}+2\mathrm {G} uu'+\mathrm {H} u'^{2}\right)}{4k''a^{2}\mathrm {E} }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89dd5fce4d8d5a34ce5029d9c2448bb734a18f95)
Intégrons d’abord cette fonction depuis
jusqu’à
Si l’on fait
![{\displaystyle t={\frac {{\sqrt {\frac {k\mathrm {H} }{4k''}}}\left(u'+{\frac {\mathrm {G} u}{\mathrm {H} }}\right)}{a{\sqrt {\mathrm {E} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb43825706ce885b32b936c09c6615629c1f173e)
et si l’on prend l’intégrale depuis
jusqu’à
on aura, en ne considérant que la variation de ![{\displaystyle u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a14479a14ae25626f543aed163babc78223253c)
![{\displaystyle \int {\sqrt {\frac {k}{4k''\pi }}}{\frac {du}{a}}\mathrm {\frac {I}{\sqrt {H}}} c^{-{\frac {ku^{2}}{4k''a^{2}}}\mathrm {\frac {FH-G^{2}}{EH}} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b33ccbac32529b36292896880fc6e8df0bf288)
Or on a
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {FH-G^{2}}{E}}=I^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70df7c776a85976dba513c2dffdbb39152acde1)
l’intégrale précédente devient donc
![{\displaystyle \int \mathrm {\frac {I}{\sqrt {H}}} {\frac {du}{a}}{\sqrt {\frac {k}{4k''\pi }}}c^{-{\frac {k}{4k''}}{\frac {\mathrm {I} ^{2}u^{2}}{a^{2}\mathrm {H} }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18b8cad123caa78ed8a92201364979af714aaae)
On aura, par le numéro précédent, l’erreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, sur la correction du premier élément, en multipliant la quantité sous le signe
par
et prenant l’intégrale depuis
jusqu’à
ce qui donne, pour cette erreur,
![{\displaystyle \pm {\frac {a{\sqrt {\mathrm {H} }}}{\mathrm {I} {\sqrt {\frac {k\pi }{k''}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17b61a704389185cf838a9f37161fff28e82409)
le signe
indiquant l’erreur moyenne à craindre en plus, et le signe
l’erreur moyenne à craindre en moins.
Déterminons présentement les facteurs
et
de manière que