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sera, par ce qui précède, la probabilité que, dans $s$ tirages, le bénéfice de $\mathrm {A}$ sera $s\mu +l\,;$ cette probabilité est donc égale à

$(c)\qquad \qquad {\frac {1}{2\pi }}c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}\left[c^{-\mu \varpi {\sqrt {-1}}}\left(ac^{\nu \varpi {\sqrt {-1}}}+a'c^{\nu '\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \right)\right]^{s},$

l’intégrale relative à $\varpi$ étant prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi .$ Si l’on développe par rapport aux puissances de $\varpi ,$ le logarithme hyperbolique de la quantité élevée à la puissance $s$ sous le signe $\int ,$ et si l’on observe que $a+a'+a''+\ldots =1,$ on aura, pour ce logarithme,

$\varpi {\sqrt {-1}}(a\nu +a'\nu '+a''\nu ''+\ldots -\mu )$

$-{\frac {\varpi ^{2}}{2}}\left[a\nu ^{2}+a'\nu '^{2}+a''\nu ''^{2}+\ldots -(a\nu +a'\nu '+a''\nu ''+\ldots )^{2}\right]-\ldots .$

On fera disparaître la première puissance de $\varpi ,$ en faisant

$\mu =a\nu +a'\nu '+a''\nu ''+\ldots +\ldots \,;$

si l’on suppose ensuite

$2k^{2}=a\nu ^{2}+a'\nu '^{2}+a''\nu ''^{2}+\ldots -(a\nu +a'\nu '+a''\nu ''+\ldots )^{2},$

et si l’on observe que, $s$ étant supposé un grand nombre, on peut négliger les puissances de $\varpi$ supérieures au carré, on aura, en repassant des logarithmes aux nombres,

$\left[c^{-\mu \varpi {\sqrt {-1}}}\left(ac^{\nu \varpi {\sqrt {-1}}}+a'c^{\nu '\varpi {\sqrt {-1}}}+a''c^{\nu ''\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \right)\right]^{s}=c^{-sk^{2}\varpi ^{2}},$

ce qui change l’intégrale $(c)$ dans celle-ci

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-sk^{2}\varpi ^{2}},$

qui devient, en intégrant comme dans le numéro précédent,

${\frac {1}{2k{\sqrt {s\pi }}}}c^{-{\frac {l^{2}}{4sk^{2}}}}.$

En la multipliant par $2dl$ et intégrant le produit depuis $l=0,$ on aura