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$q^{(0)}$ étant égal à l’unité. Si l’on fait successivement dans cette équation $i=1,\ i=2,\ i=3,\ldots ,$ on aura les valeurs successives $q^{(1)},q^{(2)},q^{(3)},\ldots ,$ et l’on trouvera

$q^{(1)}=-{\frac {1}{4}},\qquad q^{(2)}={\frac {5}{96}},\qquad \ldots .$

On aura ensuite

$\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}$

$=\alpha ^{\frac {1}{2}}\int dtc^{-t^{2}}\left(1+3\alpha q^{(1)}t^{2}+5\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+7\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\ldots \right).$

L’intégrale relative à $u$ devant être prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$ l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini ; on aura donc, par le n^o 24,

$\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}$

$={\frac {1}{2}}{\sqrt {\alpha \pi }}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+{\frac {1.3.5}{2^{2}}}\alpha ^{2}q^{(2)}+{\frac {1.3.5.7}{2^{3}}}\alpha ^{3}q^{(3)}+\ldots \right)\,;$

partant,

${\frac {(s+1)(s+2)(s+3)\ldots 2s}{1.2.3\ldots s}}$

$={\frac {2^{2s}}{\sqrt {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+{\frac {1.3.5}{2^{2}}}\alpha ^{2}q^{(2)}+{\frac {1.3.5.7}{2^{3}}}\alpha ^{3}q^{(3)}+\ldots \right).$

Ainsi l’on aura, par une suite très convergente, le terme moyen, ou indépendant de $a,$ du binôme $\left({\frac {1}{a}}+a\right)^{2s}.$

On parviendra plus simplement à ce résultat par la méthode suivante, qui peut s’étendre à un polynôme quelconque.

35. Nommons $y_{s}$ le terme moyen, ou indépendant de $a,$ du binôme $\left({\frac {1}{a}}+a\right)^{2s},$ ou, ce qui revient au même, le terme indépendant de $c^{\pm \varpi {\sqrt {-1}}}$ dans le développement du binôme $\left(c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{2s}.$ Si l’on multiplie ce développement par $d\varpi$ et qu’on l’intègre depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi ={\frac {1}{2}}\pi ,$ il est facile de voir que cette intégrale sera ${\frac {1}{2}}\pi y_{s},$ et qu’ainsi l’on a

$y_{s}={\frac {2}{\pi }}\int d\varpi \left(c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{2s}.$