Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/794

faut adopter. Si l’on nomme $i$ le nombre de ces valeurs, l’erreur à craindre sera $\mathrm {S} {\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2i}},$ le signe $\mathrm {S}$ se rapportant aux $i$ quantités ${\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2i}}$ relatives à chaque double station. Soit $s$ la somme $\mathrm {S} {\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}\,;$ la probabilité de $s$ sera, par le n^o 20 du Livre II, proportionnelle à une exponentielle de la forme

$c^{\frac {-\mathrm {K} s^{2}}{i}},$

et, si l’on nomme $q$ la somme des carrés des différences de chaque valeur partielle à sa valeur moyenne, on aura

$\mathrm {K} '={\frac {i}{2q}}.$

On a, par ce qui précède, la probabilité de l’erreur d’une valeur $s'$ de la fonction $\mathrm {S} {\frac {\varepsilon -\varepsilon '}{2}}$ proportionnelle à l’exponentielle

$c^{\frac {-4\mathrm {K} s'^{2}}{i}},$

le signe $\mathrm {S}$ s’étendant à $i$ quantités de la forme ${\frac {\varepsilon -\varepsilon '}{2}}.$ Or, les erreurs $\varepsilon$ et $-\varepsilon$ étant supposées également probables, il est visible que les mêmes valeurs de $\mathrm {S} {\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}$ et de $\mathrm {S} {\frac {\varepsilon -\varepsilon '}{2}}$ sont également probables ; on a donc

$4\mathrm {K=K'} ,$

ce qui donne

$\mathrm {K} ={\frac {i}{8q}}.$

Les quarante-cinq premières valeurs de $u,$ données dans le second Volume de la Base du Système métrique (p. 771), et qui sont fondées sur des observations faites dans les mois de l’année où l’on observe le plus souvent, donnent, pour sa valeur moyenne,

$u=0{,}07818,$