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Toute valeur de $y_{x,x',x'',\ldots }$ dans laquelle un autre indice que $x$ est nul étant égale à zéro, la fonction génératrice correspondante devient nulle aussi ; on aura donc successivement

$\mathrm {Q'=0,\quad R'=0,\quad S'} =0,\quad \ldots .$

Partant, la fonction génératrice de $y_{x,x',x'',\ldots }$ sera

${\frac {t'}{1-t'}}\ {\frac {t''}{1-t''}}\ldots {\frac {1-qt'-rt''-\ldots }{1-pt-qt'-rt''-\ldots }},$

et le coefficient de $t^{x},$ dans le développement de cette fonction par rapport aux puissances de $t,$

${\frac {t'}{1-t'}}\ {\frac {t''}{1-t''}}\ldots {\frac {p^{x}}{(1-qt'-rt''-\ldots )^{x}}}\,;$

d’où il est facile de tirer le coefficient de $t'^{x'}t''^{x''}\ldots ,$ ou

$y_{x,x',x'',\ldots }=p^{x}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {x}{1}}(q+r+\ldots )\\&+{\frac {x(x+1)}{1.2}}(q+r+\ldots )^{2}\\&+{\frac {x(x+1)(x+2)}{1.2.3}}(q+r+\ldots )^{3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

en ayant soin de rejeter les termes dans lesquels la puissance de $q$ surpasse $x'-1,$ ceux dans lesquels la puissance de $r$ surpasse $x''-1,\ldots .$

Dans le problème du n^o 10, on considère deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dont les adresses soient $p$ et $q,$ et dont le premier ait $a$ jetons et le second $b$ jetons ; et l’on suppose qu’à chaque coup, celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie ne finisse que lorsqu’un des joueurs aura perdu tous ses jetons. On demande la probabilité que l’un des joueurs, $\mathrm {A}$ par exemple, gagnera la partie avant ou au $n$^ième coup.

En représentant par $y_{x,x'}$ la probabilité de ce joueur pour gagner la partie lorsqu’il a $x$ jetons et lorsqu’il n’a plus que $x'$ coups à jouer