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lesquels une boule au moins sort à son rang,

(A)

$\left\{{\begin{aligned}nr&(rn-1)(rn-2)\ldots (rn-n+1)\\&-{\frac {n(n-1)}{1.2}}r^{2}(rn-2)(rn-3)\ldots (rn-n+1)\\&+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}r^{3}(rn-3)(rn-4)\ldots (rn-n+1)\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}r^{4}(rn-4)(rn-5)\ldots (rn-n+1)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

la série étant continuée aussi loin qu’elle peut l’être. Dans cette fonction, chaque combinaison n’est point répétée : ainsi la combinaison de $s$ boules sortant à leur rang ne s’y trouve qu’une fois ; car cette combinaison est comprise $s$ fois dans le premier terme de la fonction, puisqu’elle peut résulter de chacune des $s$ boules sortant à son rang ; elle est retranchée ${\frac {s(s-1)}{1.2}}$ fois dans le second terme, puisqu’elle peut résulter des combinaisons deux à deux des $s$ boules sortant à leur rang ; elle est ajoutée ${\frac {s(s-1)(s-2)}{1.2.3}}$ fois dans le troisième terme, puisqu’elle peut résulter des combinaisons de $s$ lettres prises trois à trois, et ainsi de suite ; elle est donc, dans la fonction (A), comprise un nombre de fois égal à

$s-{\frac {s(s-1)}{1.2}}+{\frac {s(s-1)(s-2)}{1.2.3}}-\ldots ,$

et par conséquent égal à $1-(1-1)^{s},$ ou à l’unité. En divisant la fonction (A) par le nombre $rn(rn-1)(rn-2)\ldots (rn-n+1)$ de tous les cas possibles, on aura, pour l’expression de la probabilité qu’une boule au moins sortira à son rang,

(B)

$\left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {(n-1)r}{1.2(rn-1)}}+{\frac {(n-1)(n-2)r^{2}}{1.2.3(rn-1)(rn-2)}}\\&-{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)r^{3}}{1.2.3.4(rn-1)(rn-2)(rn-3)}}+\ldots \end{aligned}}\right.$

Cherchons maintenant la probabilité que $s$ boules au moins sortiront