et, en effet, il est évidemment impossible que, dans ce cas, le joueur 
puisse gagner la partie ; mais, quand 
est plus grand que 
la valeur de 
prend cette forme
![{\displaystyle \times \left[1+{\frac {x'}{1}}q'+{\frac {x'(x'+1)}{1.2}}q'^{2}+\ldots +{\frac {x'(x'+1)\ldots (x-2)}{1.2\ldots (x-x'-1)}}q'^{x-x'-1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509afcfda56b5b6e7fc551ba2a99d6b08a0d8824)
Dans cette supposition, le joueur ne peut gagner qu’au tant qu’il amènera 
boules blanches avant 
boules noires ; autrement, il est devancé par le joueur 
qui compte un point à chaque coup : cette expression de est donc la probabilité que le joueur aura tiré boules blanches avant d’en avoir extrait noires, et, par conséquent, la probabilité pour gagner, s’il faisait le pari avec le joueur 
qui compterait alors un point par la sortie de chaque boule noire tandis qu’il en compte un à la sortie d’une blanche, d’atteindre points avant que son adversaire en ait 
ce qui est le problème des partis (*).
<ref> La fonction génératrice de se réduit dans ce cas à
et l’équation aux différences partielles correspondante serait
dans laquelle est une fonction de et de que nous désignerons par 
si l’on fait 
on aura
et, si l’on représente par 
cette dernière fonction, il en résulte
et l’équation aux différences partielles se change en celle-ci
équation à laquelle conduirait directement le problème des partis dans les conditions énoncées ci-dessus. En faisant attention que, par suite de cette transformation, 
et 
et que 
ne peut avoir lieu, il est aisé de voir que la fonction génératrice de sera
dans le développement de laquelle le coefficient de 
sera l’expression de 
