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cette équation suppose $q$ positif ; car, en faisant $q$ infini positif ou négatif, $k$ est infiniment petit. On a donc

$\int {\frac {d\varpi c^{as\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}={\frac {\mathrm {A} a^{i}s^{i}}{i(i-1)\ldots \left(1-{\frac {m}{n}}\right)}}.$

Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de $a,$ pourvu que $as$ soit positif. En faisant $s=1$ et changeant $a$ dans une autre constante $a',$ on aura

$\int {\frac {d\varpi c^{a'\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}={\frac {\mathrm {A} a'^{i}}{i(i-1)\ldots \left(1-{\frac {m}{n}}\right)}}\,;$

on aura donc

$s^{i}={\frac {a'^{i}}{a^{i}}}{\frac {\int {\cfrac {d\varpi c^{as\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}}{\int {\cfrac {d\varpi c^{a'\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}}},$

ce qui donne

$\triangle ^{n}s^{i}={\frac {a'^{i}}{a^{i}}}{\frac {\int {\cfrac {d\varpi c^{as\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}\left(c^{a\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}-1\right)^{n}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}}{\int {\cfrac {d\varpi c^{a'\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}}}.$

Pour avoir en séries les intégrales, nous supposerons

${\frac {c^{as\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}\left(c^{a\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)}-1\right)^{n}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}=c^{as}\left(c^{a}-1\right)^{n}c^{-t^{2}}\,;$

nous aurons, en prenant les logarithmes,

$-as\varpi {\sqrt {-1}}+n\log \left[1+{\frac {c^{a}}{c^{a}-1}}\left(c^{-a\varpi {\sqrt {-1}}}-1\right)\right]$

$-(i+1)\log \left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)=-t^{2}.$

Déterminons $a$ de manière que, dans le développement du premier membre de cette équation, la première puissance de $\varpi ,$ disparaisse, et supposons ce développement égal à

$-fa^{2}\varpi ^{2}-f'a^{3}\varpi ^{3}-f''a^{4}\varpi ^{4}-\ldots =-t^{2}\,;$