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$\nabla y_{x,x'}$ entre de la même manière que $y_{x,x'}$ dans $\nabla y_{x,x'}\,;$ si l’on désigne encore par $\nabla ^{3}y_{x,x'}$ une fonction dans laquelle $\nabla ^{2}y_{x,x'}$ entre de la même manière que $y_{x,x'}$ dans $\nabla y_{x,x'},$ et ainsi de suite, la fonction génératrice de $\nabla ^{n}y_{x,x'}$ sera

$u\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}+{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}&+\ldots \\+{\frac {\mathrm {B} '}{t'}}+{\frac {\mathrm {C} '}{tt'}}&+\ldots \\+{\frac {\mathrm {C} ''}{t'^{2}}}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}\right\}\,;$

partant, la fonction génératrice de $\Delta ^{i'}\Delta ^{i'\nabla x}y_{x,x'}$ sera la fonction génératrice précédente, multipliée par $\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{i'}.$

$s$ étant supposée une fonction quelconque de ${\frac {1}{t}}$ et de ${\frac {1}{t'}},$ si l’on développe $s^{i}$ suivant les puissances de ces variables, et que l’on désigne par ${\frac {k}{t^{m}t'^{m'}}}$ un terme quelconque de ce développement, le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans ${\frac {ku}{t^{m}t'^{m'}}}$ étant $ky_{x+m,x'+m'},$ on aura celui de $t^{x}t'^{x'}$ dans $us^{i},$ ou, ce qui revient au même, on aura $\nabla ^{i}y_{x,x'}\,:$ 1^o en substituant, dans $s,\ y_{x}$ au lieu de ${\frac {1}{t}},\ y_{x'}$ au lieu de ${\frac {1}{t'}}\,;$ 2^o en développant ce que devient alors $us^{i}$ suivant les puissances de $y_{x}$ et de $y_{x'},$ et en appliquant respectivement aux indices $x$ et $x'$ les exposants de ces puissances, c’est-à-dire en écrivant, au lieu d’un terme quelconque tel que $k(y_{x})^{m}(y_{x'})^{m'},\ ky_{x+m,x'+m'},,$ et par conséquent $ky_{x,x'}$ au lieu du terme tout constant $k,$ ou $k(y_{x})^{0}(y_{x'})^{0}.$

Si, au lieu de développer $s^{i}$ suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}$ et de ${\frac {1}{t'}},$ on le développe suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}-1$ et de ${\frac {1}{t'}}-1,$ et que l’on désigne par $k\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{m}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{m'}$ un terme quelconque de ce développement, le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans $ku\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{m}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{m'}$ étant $k\Delta ^{m}\Delta ^{m'}y_{x,x'},$ on aura $\nabla ^{i}y_{x,x'}\,:$ 1^o en substituant dans $s,\ \Delta y_{x,x'}$ au lieu