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en faisant donc

${\frac {l}{n}}=2t'{\sqrt {\frac {k''s}{k}}},$

la fonction $(u)$ devient

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dt'c^{-t^{2}}.$

Ainsi, en nommant, comme ci-dessus, $2a$ l’intervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, la probabilité que la somme des erreurs des $s$ observations sera comprise dans les limites $\pm ar{\sqrt {s}}$ est

${\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\int drc^{-{\frac {kr^{2}}{4k''}}}.$

Si $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)$ est constant, alors ${\frac {k}{k''}}=6,$ et cette probabilité devient

$2{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$

ce qui est conforme à ce que l’on a trouvé ci-dessus.

Si $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)$ ou $\varphi (x')$ est une fonction rationnelle et entière de $x'$ on aura, par la méthode du n^o 15, la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites $\pm ar{\sqrt {s}},$ exprimée par une suite de puissances $s,2s,\ldots$ de quantités de la forme $s-\mu \pm r{\sqrt {s}},$ dans lesquelles $\mu$ augmente en progression arithmétique, ces quantités étant continuées jusqu’à ce qu’elles deviennent négatives. En comparant cette suite à l’expression précédente de la même probabilité, on obtiendra d’une manière fort approchée la valeur de la suite, et l’on parviendra ainsi sur ce genre de suites à des théorèmes analogues à ceux que nous avons donnés dans le n^o 42 du Livre I^er, sur les différences finies des puissances d’une variable.

Si la loi de facilité des erreurs est exprimée par une exponentielle négative qui puisse s’étendre jusqu’à l’infini, et généralement si les erreurs peuvent s’étendre à l’infini, alors $a$ devient infini, et l’applica-