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soit le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans le développement de cette fonction. En repassant des coefficients aux fonctions génératrices, l’équation précédente donnera

$u=u\left({\frac {pt'}{t}}+qtt'\right),$

d’où l’on tire

$1={\frac {pt'}{t}}+qtt'\,;$

par conséquent,

${\frac {1}{t}}={\frac {1}{2pt'}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}{2p}},$

ce qui donne

${\frac {1}{t^{x}}}={\frac {1}{(2p)^{x}}}\left({\frac {1}{t'}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}\,;$

donc

${\frac {u}{t^{x}t'^{x'}}}={\frac {u}{(2p)^{x}t'^{x'}}}\left({\frac {1}{t'}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}.$

Cette équation peut être mise sous la forme suivante :

${\frac {u}{t^{x}t'^{x'}}}={\frac {u}{2(2p)^{x}t'^{x'}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {1}{t'}}+{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}+\left({\frac {1}{t'}}-{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}\\&\pm {\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}{\frac {\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}}{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}\end{aligned}}\right.$

L’expression précédente de ${\frac {1}{t}}$ donne

$\pm {\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}={\frac {2p}{t}}-{\frac {1}{t'}}\,;$

on a donc

${\begin{aligned}&{\frac {u}{t^{x}t'^{x'}}}={\frac {u}{2(2p)^{x}t'^{x'}}}\left[\left({\frac {1}{t'}}+{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}+\left({\frac {1}{t'}}-{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}\right]\\&\quad +{\frac {u\left({\cfrac {1}{t}}-{\cfrac {1}{2pt'}}\right)}{2(2p)^{x-1}t'^{x'}}}{\frac {\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}}{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}\,;\end{aligned}}$

sous cette forme, l’ambiguïté du signe $\pm$ disparaît.