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en supposant donc $\mathrm {A}$ bien connu, l’erreur de l’angle $\mathrm {A} ^{(n)}$ est

$\alpha ^{n-1}-\alpha ^{n-2}+\alpha ^{n-3}\ldots -\alpha ,$

le signe supérieur ayant lieu si $n$ est impair, et le signe inférieur ayant lieu si $n$ est pair. Les valeurs de $t,t^{(1)},\ldots$ sont fort petites et peuvent être déterminées avec précision.

Il s’agit maintenant d’avoir la probabilité que cette erreur sera contenue dans des limites données. Pour cela, je supposerai d’abord que la probabilité d’une erreur quelconque $\alpha$ est proportionnelle à $c^{-h\alpha ^{2}},\ c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Cette supposition, la plus naturelle et la plus simple de toutes, résulte de l’emploi du cercle répétiteur dans la mesure des angles des triangles. En effet, nommons $\varphi (q)$ la probabilité d’une erreur $q$ dans la mesure d’un angle simple, cette probabilité étant supposée la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives. Supposons encore que $s$ soit le nombre des angles simples contenus dans toutes les séries que l’on a faites pour déterminer cet angle. La probabilité que l’erreur du résultat moyen ou de l’angle conclu par ces séries sera $\pm {\frac {r}{\sqrt {s}}}$ est, par le n^o 18 du Livre II, proportionnelle à

$c^{-{\frac {kr^{2}}{2k''}}},$

$k$ étant égal à $\int dq\varphi (q),$ l’intégrale étant prise depuis $q$ nul jusqu’à $q$ égal à sa plus grande valeur, que l’on peut toujours supposer infinie ; en faisant $\varphi (q)$ discontinu et nul au delà de la limite de $q,\ k''$ est égal à $\int q^{2}dqs\varphi (q).$ En supposant donc

$r=\alpha {\sqrt {s}},\qquad h={\frac {ks}{2k''}},$

$c^{-h\alpha ^{2}}$ sera la probabilité de l’erreur $\alpha .$ On verra, à la fin de cet article, que les résultats suivants ont toujours lieu, quelle que soit la probabilité de $\alpha .$

Soient ϐ et $\gamma$ les erreurs des deux angles $\mathrm {AC'C}$ et $\mathrm {CAC'}$ du premier