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Puisque la fonction $\varphi$ doit être indépendante de $s$ et par conséquent de \delta y, on doit égaler séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe $\int ,$ ce qui partage l’équation précédente dans les deux suivantes :

(2)

$0=\mathrm {M} \varphi -{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {P} \varphi )}{dx^{2}}}-{\frac {d^{3}(\mathrm {Q} \varphi )}{dx^{3}}}+\ldots ,$

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} =&\mathrm {C} +\delta y\left[\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {Q} \varphi )}{dx^{2}}}-\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left[\mathrm {P} \varphi -{\frac {d(\mathrm {Q} \varphi )}{dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}(\mathrm {Q} \varphi -\ldots )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right.$

La première de ces équations sert à déterminer la fonction $\varphi$, et la seconde détermine les limites dans lesquelles l’intégrale $\int \delta y\varphi dx$ est comprise.

On peut observer que l’équation (2) est l’équation de condition qui doit avoir lieu pour que la fonction différentielle

$\left(\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots \right)\varphi dx$

soit une différentielle exacte, quel que soit $\delta y\,;$ et dans ce cas l’intégrale de cette fonction est égale au second membre de l’équation (3) ; $\varphi$ est donc le facteur en $x$ seul qui doit multiplier l’équation

$0=\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots$

pour la rendre intégrale. Si $\varphi$ était connu, on pourrait abaisser cette équation d’un degré, et, réciproquement, si cette équation était abaissée d’un degré, le coefficient de $\delta y,$ dans sa différentielle divisée par $\mathrm {M} dx,$ donnerait une valeur de $\varphi \,;$ cette équation et l’équation (2) sont conséquemment liées entre elles, de manière qu’une intégrale de l’une donne une intégrale de l’autre.

La valeur de $\varphi$ étant supposée connue, on aura celle de $y_{s}$ au moyen