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LIVRE PREMIER.

On a d’ailleurs par le n^o 24 $\int dtc^{-t^{2}}={\sqrt {\pi }}\,;$ la formule précédente devient ainsi

$(d)\qquad \int ydx=\mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3.4.dx^{4}}}+\ldots \right),$

l’intégrale $\int ydx$ étant prise entre les valeurs de $x$ qui rendent $y$ nul, et $Y$ étant le maximum de $y,$ compris entre ces valeurs. Les différents termes de cette formule se détermineront facilement par le n^o 23, et l’on aura

$\mathrm {U} ={\frac {1}{\sqrt {-{\cfrac {d^{2}\log y}{2dx^{2}}}}}},$

$x$ devant être changé en $a,$ après les différentiations. On a

$d^{2}\log y={\frac {d^{2}y}{y}}-{\frac {dy^{2}}{y^{2}}}\,;$

la supposition de $x=a$ fait disparaître $dy\,;$ on aura donc

${\frac {d^{2}\log y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}},$

$\mathrm {Y}$ et ${\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}$ étant ce que deviennent $y$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ lorsqu’on y change $x$ en $a.$ Ainsi, en ne considérant dans la formule $(d)$ que le premier terme de la série, on aura à très peu près

$\int ydx={\frac {{\sqrt {2\pi }}\mathrm {Y} ^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {-{\cfrac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}}}}.$

Cette expression de $\int ydx$ sera d’autant plus approchée que les facteurs de $y$ seront élevés à de plus hautes puissances.

La formule $(c)$ renferme l’intégrale indéfinie $\int dtc^{-t^{2}}$ prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\mathrm {T} ',$ ce qui revient à la prendre depuis $t=0$ jusqu’aux limites $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} ',$ et à retrancher la première intégrale de la seconde. Il n’est pas possible d’obtenir en termes finis l’intégrale prise depuis $t$ nul ; mais on l’obtiendra d’une manière fort approchée, si $\mathrm {T}$ est