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LIVRE PREMIER.
ce qui donne
![{\displaystyle t={\sqrt {\log \mathrm {Q} -\log(\mathrm {N} \varphi )-\log \delta y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa975087327cd237fcc118b6938f4d02ad6a754)
est de l’ordre
si l’on suppose
très grand, et si l’on fait
sera un très petit coefficient. La quantité sous le radical prendra cette forme
étant une fonction de
et de
on aura donc, par le retour des suites, la valeur de
en
par une série de cette forme
![{\displaystyle x=a+\alpha ^{\frac {1}{2}}ht+\alpha ah^{(1)}t^{2}+\alpha ^{\frac {3}{2}}h^{(2)}t^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ff8ec1a7a502d6f97cefeea0fbd5ba85fe7a9c)
Maintenant,
étant égal à
si l’on substitue dans cette intégrale au lieu de
sa valeur
elle deviendra
et si dans
on substitue pour
sa valeur précédente en
on aura
par une suite de cette forme
![{\displaystyle y_{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} \int dt.c^{-t^{2}}\left[l+\alpha ^{\frac {1}{2}}l^{(1)}t+\alpha l^{(2)}t^{2}+\alpha ^{\frac {3}{2}}l^{(3)}t^{3}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc01d3080334b8985bd1bab20ad6f5c6ed91e4ea)
les limites de l’intégrale relative à
devant se déterminer par la condition qu’à ces limites la quantité
ou son équivalente
soit nulle, d’où il suit que ces limites sont
et
on aura donc, par le no 24,
![{\displaystyle y_{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} {\sqrt {\pi }}\left(l+{\frac {1}{2}}\alpha l^{(2)}+{\frac {1.3}{2^{2}}}\alpha ^{2}l^{(4)}+{\frac {1.3.5}{2^{3}}}\alpha ^{3}l^{(6)}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aa4c3682c70c624454263e4a796e145ce4eba7)
Cette expression a l’avantage d’être indépendante de la détermination des limites en
qui rendent nulle la fonction
en sorte qu’elle subsiste dans le cas même où cette fonction, égalée à zéro, n’a point de racines réelles ; elle subsiste encore dans le cas de
négatif. Cette remarque, analogue à celle que nous avons faite dans le no 25, et qui tient comme elle à la généralité de l’analyse, est très remarquable en ce qu’elle donne le moyen d’étendre la formule précédente à un grand nombre de cas auxquels la méthode qui nous y a conduits semble d’abord se refuser.
Cette formule ne renferme que la constante arbitraire
, et par con-