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LIVRE PREMIER.

ce qui donne

$t={\sqrt {\log \mathrm {Q} -\log(\mathrm {N} \varphi )-\log \delta y}}.$

$\log \delta y$ est de l’ordre $s\,;$ si l’on suppose $s$ très grand, et si l’on fait ${\frac {1}{s}}=\alpha ,\ \alpha$ sera un très petit coefficient. La quantité sous le radical prendra cette forme ${\frac {(x-a)^{2}}{\alpha }}\mathrm {X,\ X}$ étant une fonction de $x-a$ et de $\alpha \,;$ on aura donc, par le retour des suites, la valeur de $x$ en $t,$ par une série de cette forme

$x=a+\alpha ^{\frac {1}{2}}ht+\alpha ah^{(1)}t^{2}+\alpha ^{\frac {3}{2}}h^{(2)}t^{3}+\ldots .$

Maintenant, $y_{s}$ étant égal à $\int \delta y\varphi dx,$ si l’on substitue dans cette intégrale au lieu de $\varphi \delta y$ sa valeur ${\frac {\mathrm {Q} c^{-t^{2}}}{\mathrm {N} }},$ elle deviendra $\mathrm {Q} \int {\frac {dx}{\mathrm {N} }}c^{-t^{2}}\,;$ et si dans ${\frac {dx}{\mathrm {N} }}$ on substitue pour $x$ sa valeur précédente en $t,$ on aura $y_{s}$ par une suite de cette forme

$y_{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} \int dt.c^{-t^{2}}\left[l+\alpha ^{\frac {1}{2}}l^{(1)}t+\alpha l^{(2)}t^{2}+\alpha ^{\frac {3}{2}}l^{(3)}t^{3}+\ldots \right],$

les limites de l’intégrale relative à $t$ devant se déterminer par la condition qu’à ces limites la quantité $\mathrm {N} \varphi \delta y$ ou son équivalente $Qc^{-t^{2}}$ soit nulle, d’où il suit que ces limites sont $t=-\infty$ et $t=\infty \,;$ on aura donc, par le n^o 24,

$y_{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} {\sqrt {\pi }}\left(l+{\frac {1}{2}}\alpha l^{(2)}+{\frac {1.3}{2^{2}}}\alpha ^{2}l^{(4)}+{\frac {1.3.5}{2^{3}}}\alpha ^{3}l^{(6)}+\ldots \right).$

Cette expression a l’avantage d’être indépendante de la détermination des limites en $x,$ qui rendent nulle la fonction $\mathrm {N} \varphi \delta y,$ en sorte qu’elle subsiste dans le cas même où cette fonction, égalée à zéro, n’a point de racines réelles ; elle subsiste encore dans le cas de $s$ négatif. Cette remarque, analogue à celle que nous avons faite dans le n^o 25, et qui tient comme elle à la généralité de l’analyse, est très remarquable en ce qu’elle donne le moyen d’étendre la formule précédente à un grand nombre de cas auxquels la méthode qui nous y a conduits semble d’abord se refuser.

Cette formule ne renferme que la constante arbitraire $\mathrm {H}$, et par con-