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Dans ce cas, l’avantage moral est $p\varepsilon \,;$ il est donc égal à l’avantage mathématique.

Souvent l’avantage moral des individus est augmenté par le moyen des caisses d’assurance, en même temps que ces caisses produisent aux assureurs un bénéfice certain. Supposons, par exemple, qu’un négociant ait une partie $\varepsilon$ de sa fortune sur un vaisseau dont la probabilité de l’arrivée est $p,$ et qu’il assure cette partie, en donnant une somme à la compagnie d’assurance. Pour l’égalité parfaite entre les sorts mathématiques de la compagnie et du négociant, celui-ci doit donner $(1-p)\varepsilon$ pour prix de l’assurance. En représentant par l’unité la fortune du négociant, indépendamment de son expectative $\varepsilon ,$ sa fortune morale sera, par ce qui précède,

$kp\log(1+\varepsilon )+\log h,$

dans le cas où il n’assure pas, et dans le cas où il assure, elle sera

$k\log(1+p\varepsilon )+\log h\,;$

or on a

$\log(1+p\varepsilon )>p\log(1+\varepsilon )$

ou, ce qui revient au même,

$\int {\frac {pd\varepsilon }{1+p\varepsilon }}>\int {\frac {pd\varepsilon }{1+\varepsilon }},$

$p$ étant moindre que l’unité ; la fortune morale du négociant est donc augmentée, au moyen de son assurance. Il peut ainsi faire à la compagnie d’assurance un sacrifice propre à subvenir aux frais de l’établissement et au bénéfice qu’elle doit faire. Si l’on nomme $\alpha$ ce sacrifice, c’est-à-dire si l’on suppose que le négociant donne à la compagnie, pour prix de son assurance, la somme $(1-p)\varepsilon +\alpha ,$ on aura, dans le cas de l’égalité des fortunes morales, lorsque le négociant assure, et lorsqu’il n’assure point,

$\log(1-\alpha +p\varepsilon )=p\log(1+\varepsilon ),$

ce qui donne

$\alpha =1+p\varepsilon -(1+\varepsilon )^{p}.$