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Si l’on effectue les intégrations, l’équation précédente devient

$1+ip+{\frac {i(i-1)}{1.2}}p^{2}+\ldots +{\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+2)}{1.2.3\ldots (s-1)}}p^{s-1}$

$=(1+p)^{s-1}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {i-s+1}{1}}{\frac {p}{1+p}}+{\frac {(i-s+1)(i-s+2)}{1.2}}{\frac {p^{2}}{(1+p)^{2}}}\\&+\ldots +{\frac {(i-s+1)\ldots (i-1)}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {p^{s-1}}{(1+p)^{s-1}}}\end{aligned}}\right\}$

Le second membre de cette équation est une transformation de la somme partielle des termes du binôme $(1+p)^{i},$ transformation qui peut être utile.

De l’approximation des différences infiniment petites et finies,
très élevées, des fonctions.

38. Considérons une fonction quelconque de $z,$ que nous représenterons par $\varphi (z).$ En y changeant $z$ en $z+t,$ désignons par $y_{s}$ le coefficient de $t^{s}$ dans le développement de cette fonction ; nous aurons

${\frac {d^{s}\varphi (z+t)}{dt^{s}}}=1.2.3\ldots s.y_{s},$

$t$ étant supposé nul après les différentiations, et, comme on a

${\frac {d\varphi (z+t)}{dt}}={\frac {d\varphi (z)}{dz}},$

en supposant $t$ nul, on aura

${\frac {d^{s}\varphi (z)}{dz^{s}}}=1.2.3\ldots s.y_{s}.$

Ainsi la recherche de la différence $s$^ième de $\varphi (z)$ se réduit à développer la fonction $\varphi (z+t)$ en série.

Supposons que cette fonction de $t$ soit une puissance d’un polynôme en $t,$ que nous représenterons par

$(a+bt+ct^{2}+\ldots )^{\mu }.$

En exprimant par

$y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{s}t^{s}+\ldots$