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multiplierons, conformément à la méthode exposée dans les numéros précédents, $\varphi (t)$ par $l^{0}$ ou l’unité, $\varphi '(t)$ par $l^{q},\ \varphi ''(t)$ par $l^{q'},\ldots \,;$ nous multiplierons pareillement $\varphi _{1}(t_{1})$ par l’unité, $\varphi '_{1}(t_{1})$ par $l^{q_{1}},$ et ainsi de suite ; les exposants des puissances de $l$ indiqueront alors ces valeurs. Il suffira ensuite de faire $l=1$ dans le dernier résultat du calcul. Au moyen de ces artifices très simples, on peut facilement résoudre le problème proposé.

La probabilité de la fonction $\psi (t,t_{1},t_{2},\ldots )$ est évidemment égale au produit des probabilités de $t,t_{1},t_{2},\ldots ,$ en sorte que, si l’on substitue pour $t$ sa valeur $s-t_{1}-t_{2}-\ldots ,$ que donne l’équation

$t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{i-1}=s,$

le produit de la fonction proposée par sa probabilité sera

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&\psi \left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots ,t_{1},t_{2},\ldots \right)\\&\times \left[\varphi \left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)+l^{q}\varphi '\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+l^{q'}\varphi ''\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)+\ldots \right]\\&\times \left[\varphi _{1}(t_{1})+l^{q_{1}}\varphi '_{1}(t)+l^{q'_{1}}\varphi ''_{1}(t_{1})+\ldots \right]\\&\times \left[\varphi _{2}(t_{2})+l^{q_{2}}\varphi '_{2}(t)+l^{q'_{2}}\varphi ''_{2}(t_{2})+\ldots \right]\\&\times \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

On aura donc la somme de tous ces produits : 1^o en multipliant la quantité précédente par $dt_{1}$, et en l’intégrant pour toutes les valeurs dont $t_{1}$ est susceptible ; 2^o en multipliant cette intégrale par $dt_{2}$ et en l’intégrant pour toutes les valeurs dont $t_{2}$ est susceptible, et ainsi de suite jusqu’à la dernière variable $t_{i-1}\,;$ mais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que

$l^{q+q_{1}+q'_{2}+\ldots }$

$\times \psi \left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots ,t_{1},t_{2},\ldots \right)\varphi '\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)\varphi '_{1}(t_{1})\varphi ''_{2}(t_{2})\ldots \,;$

en le multipliant par $dt_{1},$ il faut intégrer pour toutes les valeurs possibles de $t_{1}\,;$ or la fonction $\varphi '\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)$ n’a lieu que lorsque $t$, dont la valeur est $s-t_{1}-t_{2}-\ldots ,$ égale ou surpasse $q\,;$ la plus grande valeur que $t_{1}$ puisse recevoir est donc $s-q-t_{2}-t_{3}-\ldots .$ De plus,