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Il faut multiplier cette quantité par la probabilité de la valeur de $x,$ prise de l’événement observé. Cet événement est que le tribunal s’est divisé en deux parties dont l’une, composée de $p$ juges, condamne l’accusé, et dont l’autre, formée de $q$ juges, l’absout. La probabilité de $x$ est donc la fonction $x^{p}(1-x)^{q}+(1-x)^{p}x^{q}$ divisée par la somme de toutes les fonctions semblables relatives à toutes les valeurs de $x,$ depuis $x={\frac {1}{2}}$ jusqu’à $x=1\,;$ elle est par conséquent

${\frac {\left[x^{p}(1-x)^{q}+(1-x)^{p}x^{q}\right]dx}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ En multipliant cette fonction par la fonction $(a),$ on aura

${\frac {x^{p}(1-x)^{q}dx}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}}$

pour la probabilité de la bonté du jugement relative à $x.$ La même probabilité relative à toutes les valeurs de $x$ est donc

$(b)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\int x^{p}dx(1-x)^{q}}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $x={\frac {1}{2}}$ jusqu’à $x=1,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Il suit de là que la probabilité de l’erreur à craindre sur la bonté du jugement est encore exprimée par la formule $(b),$ pourvu que l’on prenne l’intégrale du numérateur depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{2}}.$ On trouve ainsi cette dernière probabilité égale à

$(c)\quad {\frac {1}{2^{p+q+1}}}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {p+q+1}{1}}+{\frac {(p+q+1)(p+q)}{1.2}}\\&+{\frac {(p+q+1)(p+q)(p+q-1)}{1.2.3}}+\ldots \\&+{\frac {(p+q+1)(p+q)(p+q-1)\ldots (p+2)}{1.2.3\ldots q}}\end{aligned}}\right\}.$

Si l’on exige l’unanimité, $q$ est nul, et cette expression devient ${\frac {1}{2^{p+1}}}.$

2. Déterminons présentement la probabilité de l’erreur à craindre sur la justesse de la décision d’un tribunal, lorsque $p$ et $q$ sont de