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l’exponentielle précédente devient

$c^{-{\frac {3}{2}}h{\underline {\alpha }}^{2}-{\frac {3}{2}}h{\overline {\alpha }}^{2}}\,;$

ainsi les lois de probabilité des valeurs de ${\underline {\alpha }}$ et de ${\overline {\alpha }}$ sont les mêmes. La fonction $(o)$ prend alors cette forme

$(o')\qquad \qquad \qquad r{\underline {\alpha }}+r^{(1)}{\overline {\alpha }}+r^{(2)}{\underline {\alpha }}^{(1)}+r^{(3)}{\overline {\alpha }}^{(1)}+\ldots .$

La probabilité que l’erreur de cette fonction, et par conséquent de la fonction $(o),$ est comprise dans les limites $\pm s$ est, par le n^o 20 du Livre II,

${\frac {2\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à

$s{\sqrt {\frac {{\frac {3}{2}}h}{r^{2}+r^{(1)2}+r^{(2)2}+\ldots }}}.$

On a évidemment

$p{\overline {\alpha }}+q{\overline {\text{ϐ}}}=\left(p-{\frac {1}{2}}q\right){\overline {\alpha }}+{\frac {1}{2}}q{\underline {\alpha }}{\sqrt {3}}\,;$

ce qui donne, en l’égalant à $r{\underline {\alpha }}+r^{(1)}{\overline {\alpha }},$

$r={\frac {1}{2}}q{\sqrt {3}},\qquad r^{(1)}=p-{\frac {1}{2}}q\,;$

la valeur de $t$ sera donc, en y substituant pour $h$ sa valeur ${\frac {3n}{2\theta ^{2}}},$

${\frac {3s}{2\theta }}{\sqrt {\frac {n}{p^{2}-pq+q^{2}+p^{(1)2}-p^{(1)}q^{(1)}+q^{(1)2}+\ldots }}}.$

La longueur de l’arc mesuré fait connaître celle du rayon osculateur de la surface au point $\mathrm {A}$ de départ. Soit $1+u$ le rayon mené du centre de gravité de la Terre à sa surface, $u$ étant une fonction de la longitude et de la latitude, le demi-axe de la Terre étant pris pour unité ; si l’on nomme $\mathrm {R}$ le rayon osculateur à ce point, dans le sens $\mathrm {AA'} ,$ on aura,