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quent, est égale à

$(1)\quad {\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{l\varpi {\sqrt {-1}}}$

$\times \left\{c^{\mu \varpi {\sqrt {-1}}}\left[{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{a}}\right)&+\varphi \left({\frac {1}{a}}\right)c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots +\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{-x\varpi {\sqrt {-1}}}\\&\ldots +\varphi \left({\frac {a}{a}}\right)c^{-a\varpi {\sqrt {-1}}}\end{aligned}}\right]\right\}^{n},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi .$

Si l’on prend dans cette intégrale le logarithme hyperbolique de la quantité sous le signe $\int ,$ élevée à la puissance $n,$ on aura, en développant les exponentielles en séries, ce logarithme égal à

$(2)\quad n\mu \varpi {\sqrt {-1}}$

$+n\log \left[\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)-\varpi {\sqrt {-1}}\int x\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)-{\frac {\varpi ^{2}}{2}}\int x^{2}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)+\ldots \right]\,;$

le signe $\int$ se rapportant ici à toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=a.$ Si l’on fait ${\frac {x}{a}}=x',$ et si l’on observe que, la variation de $x$ étant l’unité, on a $adx'=1,$ on aura

${\begin{aligned}\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=&a\int dx'\varphi (x'),\\\int x\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=&a^{2}\int x'dx'\varphi (x'),\\\int x^{2}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=&a^{3}\int x'^{2}dx'\varphi (x'),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

les intégrales relatives à $x'$ étant prises depuis $x'=0$ jusqu’às $x'=1.$ Nommons $k,k',k'',\ldots$ ces intégrales successives ; la probabilité que la durée de la vie d’un enfant sera comprise dans les limites zéro et $a$ est $\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)$ ou $a\int dx'\varphi (x')\,;$ or cette probabilité est la certitude elle-même ; on a donc $ak=1.$ Cela posé, la fonction (2) devient

$n\mu \varpi {\sqrt {-1}}+n\log \left(1-{\frac {k'}{k}}a\varpi {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{k}}{\frac {a^{2}\varpi ^{2}}{2}}+\ldots \right)$

ou

$\left({\frac {n\mu }{a}}-{\frac {nk'}{k}}\right)a\varpi {\sqrt {-1}}-n{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}a^{2}\varpi ^{2}-\ldots .$