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finie, lorsque l’un quelconque des joueurs $\mathrm {B,C} ,\ldots$ n’a plus de coups à jouer ; il ne faut donc considérer dans le dernier membre de l’équation précédente que les puissances de $t'$ moindres que $x',$ que les puissances de $t''$ moindres que $x'',\ldots .$ L’expression précédente de ${\frac {u}{t^{x}}}$ donnera ainsi, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$y_{x,x',x'',\ldots }=p'^{x}\left\{{\begin{aligned}1&+x(q'+r'+\ldots )\\&+{\frac {x(x+1)}{1.2}}(q'+r'+\ldots )^{2}\\&+{\frac {x(x+1)(x+2)}{1.2.3}}(q'+r'+\ldots )^{3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

pourvu que l’on rejette les termes dans lesquels la puissance de $q'$ surpasse $x'-1,$ ceux dans lesquels la puissance de $r'$ surpasse $x''-1,$ etc. Le second membre de cette équation se développe dans une suite de termes compris dans la formule générale

${\frac {1.2.3\ldots (x+f+f'+\ldots -1)}{1.2.3\ldots (x-1).1.2.3\ldots f.1.2.3\ldots f'\ldots }}p'^{x}q'^{f}r'^{f'}\ldots .$

La somme de ces termes relatifs à toutes les valeurs de $f$ depuis $f$ nul jusqu’à $f=x'-1,$ à toutes les valeurs de $f'$ depuis $f'$ nul jusqu’à $f'=x''-1,\ldots ,$ sera la probabilité $y_{x,x',x'',\ldots },$ ce qui est conforme à ce qui précède.

Dans le cas de deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, on aura, pour la probabilité du joueur $\mathrm {A}$,

$p'^{x}\left[1+xq'+{\frac {x(x+1)}{1.2}}q'^{2}+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {x(x+1)(x+2)\ldots (x+x'-2)}{1.2.3\ldots (x'-1)}}q'^{x'-1}\right].$

En changeant $p'$ en $q'$ et $x$ en $x'$ et réciproquement, on aura

$q'^{x'}\left[1+x'p'+{\frac {x'(x'+1)}{1.2}}p'^{2}+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {x'(x'+1)(x'+2)\ldots (x+x'-2)}{1.2.3\ldots (x-1)}}p'^{x-1}\right]$

pour la probabilité que le joueur $\mathrm {B}$ gagnera la partie. La somme de ces