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la même pour les valeurs $+\alpha$ et $-\alpha ,$ il est clair que les éléments de cette intégrale dépendants de $+\alpha$ϐ seront détruits par les éléments négatifs dépendants de $-\alpha$ϐ. Si l’on observe ensuite qu’en désignant $\int \alpha ^{2}d\alpha \varphi (\alpha )$ par $k''$ on a

$\iiint \alpha ^{2}d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} '\varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} ')=k^{2}k'',$

la fonction $(u)$ deviendra

$k^{2}k''\left[{\frac {2}{3}}\left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]\,;$

le logarithme de

$\iint d{\underline {\alpha }}d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)\cos \left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)\omega$

devient ainsi

$\log k^{3}-{\frac {k''}{2k}}\omega ^{2}\left[{\frac {2}{3}}\left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]-\ldots .$

En repassant des logarithmes aux nombres et négligeant, conformément à l’analyse du n^o 20 du Livre II, les puissances de $\omega$ supérieures au carré, l’intégrale (H) prendra cette forme

$k^{3n}\int d\omega c^{-s\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''\omega ^{2}}{2k}}\left[{\frac {2}{3}}\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]},$

$\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)$ représentant la somme des quantités

$p^{2}-pq+q^{2}+p^{(1)2}-p^{(1)}q^{(1)}+\ldots \,;$

$\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)^{2}$ représentant la somme des quantités

$\left(pi+qi_{1}\right)^{2}+\left(p^{(1)}i^{(1)}+q^{(1)}i_{1}^{(1)}\right)^{2}+\ldots ,$

et $n$ étant le nombre des triangles. Donnons à l’intégrale précédente cette forme

$k^{3n}\int d\omega c^{-\mathrm {Q} \left(\omega +{\frac {s{\sqrt {-1}}}{2\mathrm {Q} }}\right)^{2}-{\frac {s^{2}}{4\mathrm {Q} }}},$

$\mathrm {Q}$ étant égal à

${\frac {k''}{2k}}\left[{\frac {2}{3}}\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right].$

L’intégrale doit être prise depuis $\omega =-\pi$ jusqu’à $\omega =\pi ,$ et l’on a vu, dans le numéro cité du Livre II, qu’elle peut être étendue depuis