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LIVRE PREMIER.

à son dernier terme, qui surpasse infiniment les autres ; l’expression de $\mathrm {Z} _{r}^{(s-1)}$ du n^o 5 devient, en y changeant $r$ dans $i-1,$

$\mathrm {Z} _{i-1}^{(s-1)}=-{\frac {dx'}{1.2.3\ldots (s-1)(\pm q'')^{s}}}{\frac {d^{s-1}}{dh^{s-1}}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {c^{-hx'}}{(h-f')^{s}(h-f'')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {c^{-hx'}}{(h-f)^{s}(h-f'')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {c^{-hx'}}{(h-f)^{s}(h-f')^{s}\ldots }}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

la différence $d^{s-1}$ étant prise en ne faisant varier que $h$ et en substituant, après les différentiations, $f$ au lieu de $h$ dans le premier terme, $f'$ au lieu de $h$ dans le second terme, et ainsi de suite. Nommons $\mathrm {X} ^{(s-1)}dx'$ la quantité précédente ; on aura, à l’infiniment petit près, $\mu$ étant un nombre fini.

$\mathrm {Z} _{i\pm \mu }^{(s-1)}=\mathrm {Z} _{i-1}^{(s-1)}=\mathrm {X} ^{(s-1)}dx'.$

D’ailleurs on a $y_{x}=\varphi (\varpi ),$ et la caractéristique $\Delta$ des différences finies doit se changer dans la caractéristique $d$ des différences infiniment petites, en sorte que l’équation

$\nabla y_{x}=ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots ,$

ou, ce qui revient au même, celle-ci

$\nabla y_{x}=a''+{\frac {b''}{dx'}}\Delta y_{x}+{\frac {c''}{dx'^{2}}}\Delta ^{2}y_{x}+\ldots ,$

devient, en y changeant $dx'$ en $d\varpi ,$

$\nabla y_{x}=a''+b''{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }}+c''{\frac {d^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}+\ldots +q''{\frac {d^{n}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n}}}.$

L’expression de $y_{x+i},$ trouvée dans le numéro précédent, deviendra