Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/568

est égale à

${\frac {1}{\pi }}\iint dtdt'c^{-t^{2}-t'^{2}},$

les intégrales étant prises depuis $t$ et $t'$ nuls.

On voit par cette formule que, dans le cas de deux genres différents d’événements simples, la probabilité que leurs possibilités respectives sont celles qui rendent l’événement composé le plus probable devient de plus en plus grande, et finit par se confondre avec la certitude ; ce qui a lieu généralement pour un nombre quelconque de genres différents d’événements simples, qui entrent dans l’événement observé.

Si l’on conçoit une urne renfermant une infinité de boules de plusieurs couleurs différentes, et qu’après en avoir tiré un grand nombre $n,p$ sur ce nombre aient été de la première couleur, $q$ de la seconde, $r$ de la troisième, etc. ; en désignant par $x,x',x'',\ldots$ les probabilités respectives d’amener dans un seul tirage une de ces couleurs, la probabilité de l’événement observé sera le terme qui a pour facteur $x^{p}x'^{q}x''^{r}\ldots ,$ dans le développement du polynôme

$(x+x'+x''+\ldots )^{n},$

où l’on a

${\begin{aligned}x+x'+x''+\ldots =&1,\\p+q\ \ +r\ \ +\ldots =&n\,;\end{aligned}}$

on pourra donc supposer ici $y=x^{p}x'^{q}x''^{r}\ldots ,$ et alors on a pour les valeurs de $x,x',x'',\ldots$ qui rendent l’événement observé le plus probable

$x={\frac {p}{n}},\qquad x'={\frac {q}{n}},\qquad x''={\frac {r}{n}},\qquad \ldots .$

Ainsi les valeurs les plus probables sont proportionnelles aux nombres des arrivées des couleurs, et lorsque le nombre $n$ est un grand nombre, les probabilités respectives des couleurs sont à très peu près égales aux nombres de fois qu’elles sont arrivées divisés par le nombre des tirages.