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LIVRE PREMIER.

son développement en série, on aura, en prenant les différences logarithmiques,

${\frac {\mu (b+2ct+\ldots )}{a+bt+ct^{2}+\ldots }}={\frac {y_{1}+2y_{2}t+\ldots +sy_{s}t^{s-1}+\ldots }{y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{s}t^{s}+\ldots }}.$

Multipliant en croix et comparant les termes multipliés par $t^{s-1},$ on aura

$asy_{s}+b(s-1)y_{s-1}+c(s-2)y_{s-2}+\ldots =\mu by_{s-1}+2\mu cy_{s-2}+\ldots .$

Représentons par $\int x^{s-1}\varphi dx$ l’expression de $y_{s}\,;$ cette équation devient

${\begin{aligned}0=&x^{s}\left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)\varphi \\&-\int x^{s}[d\varphi \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)+\mu \varphi dx\left({\frac {b}{x^{2}}}+{\frac {2c}{x^{3}}}+\ldots \right)].\end{aligned}}$

En égalant séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe intégral, on a

$0=d\varphi \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)+\mu \varphi dx\left({\frac {b}{x^{2}}}+{\frac {2c}{x^{3}}}+\ldots \right)\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)^{\mu },$

$A$ étant une constante arbitraire. La partie de l’équation précédente hors du signe intégral donnera ensuite, pour déterminer les limites de l’intégrale.

$0=x^{s}\left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)^{\mu +1}\,;$

ces limites sont donc $x=0$ et $x$ égal aux diverses racines de l’équation

$0=a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots .$

On aura donc, par les méthodes précédentes et par une approximation