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LIVRE PREMIER.

donne

$\operatorname {tang} {\frac {2n+1}{2}}\varpi >{\frac {2n+1}{2}}\varpi .$

Ainsi, ${\frac {2n+1}{2}}\varpi$ étant compris dans le second maximum entre $\pi$ et $2\pi ,\ \operatorname {tang} {\frac {2n+1}{2}}\varpi$ surpasse $\pi \,;$ par conséquent ${\frac {2n+1}{2}}\varpi$ surpasses $\pi +{\frac {1}{4}}\pi \,;$ il est donc compris entre ${\frac {5}{4}}\pi$ et ${\frac {3}{2}}\pi .$ L’équation précédente du maximum donne

${\frac {-\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}={\frac {2n+1}{\sqrt {\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi +(2n+1)^{2}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi }}}.$

Ce dernier membre est plus petit que

${\frac {2n+1}{{\cfrac {2n+1}{2}}\varpi {\cfrac {\sin {\frac {1}{2}}\varpi }{{\frac {1}{2}}\varpi }}}}\,;$

${\frac {1}{2}}\varpi$ ne surpassant pas ${\frac {1}{2}}\pi ,$ il est facile de s’assurer que ${\frac {\sin {\frac {1}{2}}\varpi }{{\frac {1}{2}}\varpi }}$ n’est jamais moindre que sa valeur qui répond à $\varpi =\pi ,$ et qui est égale à ${\frac {2}{\pi }}\,;$ le second membre dont il s’agit est donc généralement plus petit que

${\frac {2n+1}{{\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }}\pi .$

Relativement au second maximum, ${\frac {2n+1}{2}}\varpi$ étant compris entre ${\frac {5}{4}}\pi$ et ${\frac {3}{2}}\pi ,$ ce membre sera plus petit que $(2n+1){\frac {2}{5}}\,;$ ainsi la puissance $s$ de ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}$ ne surpassera point $(2n+1)^{s}\left({\frac {2}{5}}\right)^{s}\,;$ elle sera donc, lorsque $s$ est un très grand nombre, incomparablement plus petite que la même puissance correspondante au premier maximum, et qui est égale à $(2n+1)^{s}.$

On verra de la même manière que le troisième maximum est compris entre ${\frac {2n+1}{2}}\varpi ={\frac {9}{4}}\varpi ,$ et ${\frac {2n+1}{2}}\varpi ={\frac {5}{2}}\varpi ,$ et qu’à ce maximum la puis-