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Si $n$ est infini, on a

$y_{r}=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}.$

Si $n=2,$ c’est-à-dire si l’existence du fait est aussi probable que sa non-existence, on a

$y_{r}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}(2p_{1}-1)(2p_{2}-1)\ldots (2p_{r}-1).$

En général, à mesure que la chaîne traditionnelle se prolonge, $y_{r}$ approche indéfiniment de sa limite ${\frac {1}{n}},$ limite qui est la probabilité, a priori, de la sortie du n^o $i.$ Le terme ${\frac {n-1}{n}}{\frac {np_{1}-1}{n-1}}\ldots$ de l’expression de $y_{r},$ est donc ce que la chaîne des témoins ajoute à cette probabilité. On voit ainsi comment la probabilité s’affaiblit à mesure que la tradition se prolonge. À la vérité, les monuments, l’imprimerie et d’autres causes peuvent diminuer cet effet inévitable du temps ; mais ils ne peuvent jamais entièrement le détruire.

Si l’on a deux chaînes traditionnelles, chacune de $r$ témoins, si l’on suppose les témoins de ces chaînes également véridiques et si le dernier témoin de l’une des chaînes s’accorde avec le dernier de l’autre à affirmer la sortie du n^o $i,$ on aura la probabilité de cette sortie, en substituant $y_{r}$ pour $p$ et $p'$ dans la formule $(o)$ du numéro précédent, qui devient par là

${\frac {y_{r}^{2}}{y_{r}^{2}+{\cfrac {(1-y_{r})^{2}}{n-1}}}}.$

49. Considérons deux témoins dont $p$ et $p'$ soient les véracités respectives. On sait que tous deux ou du moins l’un d’eux, sans être contredit par l’autre qui, dans ce cas, n’a point prononcé, affirment que le n^o $i$ est sorti d’une urne qui en renferme le nombre $n.$ En supposant toujours qu’on n’a extrait qu’un seul numéro, on demande la probabilité de la sortie du n^o $i.$

Soient $r$ et $r'$ les probabilités respectives que les témoins prononcent. On ne peut faire ici que les quatre hypothèses suivantes : 1^o les deux témoins prononcent et disent la vérité ; 2^o les deux témoins prononcent